Teoria delle distribuzioni

[ViciousGoblin]

@Dissonance.
Infatti non mi pare una questione di unicità.
Ti dico come ho capito il tuo argomento. Tu usi che (1) $u$ è soluzione debole; (2) ogni $v$ soluzione classica è soluzione debole (3) due soluzioni deboli con lo stesso dato al borso devono per forza coincidere. Dato che $u$ non è $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ non ci sono soluzioni classiche con lo stesso dato al bordo di $u$.
A onor del vero non mi pare che tu usi mai l'espressione "soluzione debole" ma le tecniche mi sembrano quelle.

Però se voglio provare che $\Delta v=f$ non ha soluzioni classiche (fornendo un controesempio per supportare l'affermazione del Bramanti) devo far vedere che non esiste nessuna $v\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ tale che $\Delta v=f$. Nell'altro post avevo abbozzato una dimostrazione basata sul fatto che una funzione armonica su $\mathbb{R}^2\setminus{0}$ che sia limitata vicino a $0$ è automaticamente prolungabile a una armonica su tutto $\mathbb{R}^2$. Avevo scelto questa strada perché, dato che la questione riguarda le soluzioni classiche volevo evitare la nozione di soluzione debole, se non strettamente necessaria.

Leggendo poi la tua dimostrazione, questa mi è sembrata più semplice della mia. C'è anche lì il problema di una soluzione (debole) in $\mathbb{R}^2\setminus{0}$, ma limitata vicino a zero che allora è una soluzione (debole) in $\mathbb{R}^2$, ma per dimostrare questo basta togliere la pallina e farne tendere a zero il raggio.
Rimane però il problema che in questo modo si esclude l'esistenza di soluzioni che hanno lo stesso valore al bordo di $u$ (o c'è qualcosa che non capisco? - in quell'integrale per parti usi il fatto che $\bar u=u$ sul bordo di $D_1$ vero?). Per trovare che non esiste nessuna $v$ non ho trovato di meglio che aggiungere una funzione armonica $h$ in modo che $\bar u:=v+h$ abbia lo stesso valore al bordo di $u$ e rifare il tuo discorso ( mi serve dunque che $h$ esiste ed è $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$.

Non so se mi sono spiegato...

[dissonance]

Certo che ti sei spiegato, e molto bene. In realtà, la vera verità è la seguente. Faccio un riassunto del thread, sperando di aiutare anche altri lettori e lettrici.

RIASSUNTO DEL THREAD. Ciò che mi ha emozionato è l'esempio ViciousGoblin, concreto e tangibile, di una funzione \(u\in C^2(\mathbb R^2\setminus \{0\})\cap C^1(\mathbb R^2)\) che non si può estendere a una funzione \(C^2\), ma tale che \(\Delta u\in C^0(\mathbb R^2)\). Già qui abbiamo una chiarissima idea di cosa può succedere risolvendo l'equazione
\[
\Delta u =f, \]
dove possiamo assegnare un dato \(f\in C^2(\mathbb R^2)\) e non ci aspettiamo soluzioni in \(C^2(\mathbb R^2)\).

Ora chiaramente ci resta promuovere quel "non ci aspettiamo" a un rigoroso "non ci sono soluzioni \(C^2\)". Solo che questo, secondo me, è molto più noioso e mi emoziona molto meno. Infatti mi ero avventurato in un raffazzonato argomento con l'integrale dell'energia, ma in realtà stavo solo cercando di svicolare il più velocemente possibile

[gugo82]

Non dovrebbe essere "non sempre ci sono soluzioni $C^2$"?

Ad esempio, se $f(x,y) = 0$ allora...

[dissonance]

Voglio dire, per quel particolare dato \(f\) non ci aspettiamo soluzioni \(C^2\).