Campionamento uscita sistema LTI

[xh144fata]

Salve, ho svolto questo esercizio di Teoria dei Segnali ma non sono sicuro del risultato ottenuto.
"Sia dato il sistema LTI con risposta in frequenza $ H(f)=sin^2(\pifT/2), |f|<= 2/T $ .
1) Determinare l'uscita $ y(t) $ del sistema quando l'ingresso è $ x(t)= sum_(n=-\infty)^(+ \infty) rect((t-nT)/(T/2)) $ ;

2) Determinare la trasformata di Fourier della sequenza $ y[n] $ ottenuta campionando a passo $ T_c=(2T)/3 $ il segnale $ y(n) $ ;

3) Stabilire se la sequenza $ y[n] $ è periodica. Se lo è, indicarne il periodo.

Punto 1)

$ x_(g)(t)=rect(t/(T/2)) $ , quindi $ X_(g)(f)=(T/2)*sinc(f*(T/2)) $
$ x(t)=sum_(k=-\infty)^(+\infty) X_k*e^(j2\pif_0t) = sum_(k=-\infty)^(+\infty) (1/2)*sinc(k/2)*e^(j2\pif_0t) $ dove $ X_k=1/T_0*int_(-T_0/2)^(T_0/2) x(t)*e^(-j2\pif_0t) dt = 1/T_0*X_(g)(k*f_0) = $
$ 1/2*sinc(k/2) $ .
Allora $ X(f)=sum_(k=-\infty)^(+\infty) (1/2*sinc(k/2))*\delta(f-k/T) $ e perciò
$ Y(f)=X(f)*H(f)=sin^2(\pifT/2)sum_(k=-\infty)^(+\infty) (1/2*sinc(k/2))*\delta(f-k/T) $ $ =sum_(k=-2)^(2) sin^2(\pifT/2)(1/2*sinc(k/2))*\delta(f-k/T) $ $ = 1/2*{sinc(1/2)*sin^2(\piT/2)*[\delta(f-1/T)+\delta(f+1/T)] + $ $ sinc(1)*sin^2(\piT)*[\delta(f-2/T)+\delta(f+2/T)]} $
perché la risposta in frequenza $ H(f) !=0 $ solo per $ fin [-2/T,+2/T] $ .
Pertanto $ y(t)= sinc(1/2)*sin^2(\pi*T/2)*cos(2\pi*(1/T)*t) $ $ + sinc(1)*sin^2(\pi*T)*cos(2\pi*(2/T)*t) $ .

Punto 2)
$ y[n]=y(nT_c) $ quindi il generico campione $ y[n] $ ha l'aspetto di
$ y[n]=sinc(1/2)*sin^2(\pi*T/2)*cos((4\pin)/3) + sinc(1)*sin^2(\pi*T)*cos((8\pin)/3)) $
La trasformata di Fourier della sequenza è
$ Y(\nu)=1/T_c*sum_(k=-\infty)^(+\infty) Y(f)*\delta(f-kf_c) $ ovvero una periodicizzazione dello spettro del segnale analogico originario. Perciò
$ Y(\nu)=3/(2T)*sum_(k=-\infty)^(+\infty) (1/2)*{sinc(1/2)*sin^2(\piT/2)*[\delta(f-2/3)+\delta(f+2/3)] $ $ + sinc(1)*sin^2(\piT)*[\delta(f-4/3)+\delta(f+4/3)]}*\delta(f-(3k)/(2/T)) $ .

Punto 3)
La sequenza $ y[n] $ è periodica in $ n $ con periodo $ N_0=3/2 $ .

Il mio svolgimento è corretto? Il punto sul quale ho dei dubbi è il Punto 2.
Nota: nella notazione della trasformata di Fourier della sequenza ho usato $ \nu $ come variabile per evidenziare che si tratta di una trasformata in tempo discreto (DTFT).

[pilloeffe]

Ciao xh144fata,

Punto 1)

$x_{g}(t)=rect(t/(T/2)) $, quindi $ X_{g}(f) = (T/2)*sinc(f*(T/2)) $

Direi che già qui manca un fattore $\pi $:

$x_{g}(t)=\text{rect}(t/(T/2)) \implies $
$\implies X_{g}(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}x_{g}(t) e^{- j\omega t} \text{d}t = T/2 \text{sinc}((\omega T)/4) = T/2 \text{sinc}((2\pi f T)/4) = T/2 \text{sinc}((\pi f T)/2)$

[xh144fata]

Il fattore $ \pi $ dovrebbe essere necessario se chiami $ \omega=2\pif $ ed io non lo faccio, infatti uso $ X(f)=int_(-\infty)^(+\infty) x(t)*e^(-j2\pift) dt $ .

[pilloeffe]

infatti uso $ X(f)=int_(-\infty)^(+\infty) x(t)*e^(-j2\pift) dt $

... Che è esattamente la stessa definizione di trasformata di Fourier che ho usato io con $\omega = 2\pi f $

[Quinzio]

Ragazzi,
il tentativo di risoluzione c'e' e si vede lo sforzo, pero' mi sa che siamo abbastanza lontani da una esecuzione pulita dell'esercizio.
Bisogna sempre se possibile cercare di sfruttare le proprieta' e le tabelle gia' precalcolate.
Questi esercizi scolastici non ve li danno per farvi impazzire a calcolare integrali e serie infinite.
A volte capita, ma molto spesso l'esercizio vi viene dato per usare le tabelle e sfruttare le proprieta'.

Poi ad esempio:

Punto 3)
La sequenza $ y[n] $ è periodica in $ n $ con periodo $ N_0=3/2 $ .

Ti sembra che una sequenza numerica possa avere periodo $3/2$ ?
Il periodo di una sequenza numerica e' sempre un intero, come ad esempio $10$ oppure $ 5$ oppure $ 23$, ma mai una frazione.
La sequenza numerica e' fatta di campioni che vengono numerati come $0, 1, 2, 3, ...$ quindi usando gli interi, quindi il periodo va espresso con un intero.
All'esame scrivere che il periodo e' una frazione, $3/2$, secondo me e' un errore grave perche' significa che non si e' capito di cosa si sta parlando e si danno numeri senza senso. Puo' essere anche un errore di distrazione, ma se fossi il prof. non so come reagirei.

Veniamo allo svolgimento...

Abbiamo
$ x(t)= sum_(n=-\infty)^(+ \infty) "rect"((t-nT)/(T/2)) $

che rappresentiamo come convoluzione perche' ci fara' comodo subito dopo.

$ x(t)= "rect"(2/Tt) \ast \sum_(n=-\infty)^(+ \infty) \delta(t-nT) $

Sfruttando la proprieta' 108 di:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_t ... imensional
e facendo la trasformata delle due funzioni che vanno in convoluzione otteniamo:

$X(f) = T/2 "sinc" (T/2 f) 1/ T \sum_(n=-\infty)^(+ \infty) \delta(f-n/T) = 1/2 "sinc" (T/2 f) \sum_(n=-\infty)^(+ \infty) \delta(f-n/T)$.

Adesso moltiplichiamo la $X(F) $ per
$ H(f)=sin^2(\pifT/2), |f|<= 2/T $

$X(f)H(f) = 1/2 "sinc" (T/2 f) \sin^2(\pifT/2) \sum_(n=-\infty)^(+ \infty) \delta(f-n/T)$

con $|f|<= 2/T $.

Proprio grazie allo spettro limitato ad una banda centrale $|f|<= 2/T $

possiamo limitare la sommatoria a soli 3 termini in questo modo:

$X(f)H(f) = 1/2 "sinc" (T/2 f) \sin^2(\pifT/2) [\delta(-1/T) + \delta(0) + \delta(1/T) ]$.

Quindi notiamo che lo spettro e composto da sole tre righe alle frequenze $ -1/T, 0, 1/T$,
e allora valutiamo la funzione $\sin^2$ in corrispondenza delle righe.
Vediamo che $\sin^2$ vale $0$ alla frequenza nulla, mentre vale $1$ alle altre due frequenze.

Quindi modifichiamo l'espressione dello spettro come segue:

$X(f)H(f) = 1/2 "sinc" (T/2 f) [\delta(-1/T) + \delta(1/T) ]$.

Possiamo poi esplicitare la $"sinc"$ come $\sin(\pi x ) /(\pi x) $ e valutarlo alle due frequenze rimaste:

$X(f)H(f) = 1/\pi [-\delta(-1/T) + \delta(1/T)] $.

Adesso facciamo l'antitrasformata per ottenere $y(t)$: e' immediato riconoscere un coseno.

$Y(f)= X(f)H(f) = 1/\pi [-\delta(-1/T) + \delta(1/T)] $

$y(t) = 2/\pi cos (2\pi t/T)$

Questa e' la risposta 1).

Passiamo alla 3).

Se campioniamo con $T_c = 2/3 T$, il periodo della sequenza risultante sara' il minimo comune multiplo dei tre periodi, cioe' l'mcm di $2/3 T$, di $T$ e di $T/2$.

L'mcm e' $2T$ quindi abbiamo che la $y[n] $ e' periodica di periodo $3$.

Infatti $y[n] = 2/\pi cos (4/3\pi n)$

Per il punto 2) possiamo prendere direttamente la definizione della DFT con periodo $N = 3$:

$X[k] = \sum_{n = 0}^{N-1} y[n] e^{-2\pi i (nk)/N }$

$X[k] = \sum_{n = 0}^{2} y[n] e^{-2\pi i (nk)/3 } $

$X[k] = \sum_{n = 0}^{2} 2/\pi cos (4/3\pi n) e^{-2\pi i (nk)/3 } $ (a)

$X[k] = 2/\pi \sum_{n = 0}^{2} (e^{-4/3\pi i n}+ e^{4/3\pi i n})/(2) e^{-2\pi i (nk)/3} $

$X[k] = 1/\pi \sum_{n = 0}^{2} (e^(-2/3\pi i n (2+ k))+ e^(2/3\pi i n (2-k))) $

Possiamo anche esplicitare la $y[n]$, e anche la $Y[k]$ espandendo la (a)

$y[n] = {2/\pi,-1/\pi,-1/\pi }$

$Y[k] = {0, 6/\pi, 6/\pi}$

[xh144fata]

Ciao Quinzio, grazie per il tuo intervento. Dunque, ho trovato l'errore nel Punto 1: ho fatto male la sostituzione di $ f $ .
La risposta impulsiva $ H(f) $ abbiamo detto che è non nulla solo per valori di $ |f|<=2/T $ , tuttavia per $ f=2/T $ essa ha valore nullo, quindi questo valore non lo consideriamo, giusto?
Quindi $ y(t)=2/\pi*cos(2\pi(1/T)t) $ , mentre la sequenza che otteniamo in seguito al campionamento è $ y[n]=2/\pi*cos((4\pi)/3n) $ .
Il periodo fondamentale di questa funzione è $ 3/2 $ , tuttavia essendo una funzione periodica essa lo è anche se consideriamo come periodo un multiplo di quello fondamentale e perciò $ N_0=3 $ .
Ora per quanto riguarda la DFT. Hai usato la DFT perché avevamo una sequenza periodica in $ n $ e, dato che è nata in seguito ad un'operazione di campionamento, periodica anche nel dominio della frequenza?
Premesso che non vi è traccia di questo argomento nei miei appunti, la definizione di DFT che ho trovato io è

$ F(\nu)=1/N*sum_(n=0)^(N-1) f(\tau)*e^(-i2\pi(\nu/N)\tau) $

Usando questa definizione avrei
$ Y(\nu)=1/3*sum_(n=0)^(2) y[n]*e^(-i2\pi(\nu/N)n) $$ =2/(3\pi)*sum_(n=0)^(2) cos((4\pi)/3n)*e^(-i2\pi(\nu/N)n) $ è così, o mi sto perdendo?

[Quinzio]

Ciao Quinzio, grazie per il tuo intervento. Dunque, ho trovato l'errore nel Punto 1: ho fatto male la sostituzione di $ f $ .
La risposta impulsiva $ H(f) $ abbiamo detto che è non nulla solo per valori di $ |f|<=2/T $ , tuttavia per $ f=2/T $ essa ha valore nullo, quindi questo valore non lo consideriamo, giusto?

Si, ho corretto. Grazie per avermelo fatto notare.

Quindi $ y(t)=2/\pi*cos(2\pi(1/T)t) $ , mentre la sequenza che otteniamo in seguito al campionamento è $ y[n]=2/\pi*cos((4\pi)/3n) $ .
Il periodo fondamentale di questa funzione è $ 3/2 $ , tuttavia essendo una funzione periodica essa lo è anche se consideriamo come periodo un multiplo di quello fondamentale e perciò $ N_0=3 $ .

No... allora, vediamo di fare chiarezza, perche' su questo punto e' facile confondersi.

Punto primo: Il periodo fondamentale non c'entra in questo momento. Per adesso dimenticalo. Poi...

Prendiamo la funzione $f(t) = cos(4/3 \pi t)$ con $t \in RR$. Nota: importantissimo.. $t$ e' un numero reale !!! Questa funzione ha periodo $3/2$.

Poi prendiamo la funzione $y[n] = cos (4/3 \pi n)$ con $n \in \NN$. Nota: importantissimo.. $n$ e' un numero intero !!! Questa funzione ha periodo $3$.

Tu dirai: perche' ?
Perche' se prendi la definizione di periodo vedi che le risposte corrette sono quelle che ho scritto.
Definizione di periodo:
$f(t) = f(t+T)$ con $t, T \ in \RR$
Se parliamo di sequenze numeriche la definizione e' la stessa, ma per convenzione si usano variabili diverse, e cioe'
$y[n] = y[n+N_0]$ con $n, N_0 \ in \NN$

Se prendi $y[n] = cos (4/3 \pi n)$ e provi a scrivere la sequenza esplicita, trovi $y[n] = {1, -1/2, -1/2, 1, -1/2, -1/2, 1, -1/2, -1/2, 1, -1/2, -1/2, ...}$.
Si vede che ha periodo 3, giusto ? Prova a disegnarla. Vedi qualche traccia del coseno ? Io no. Il coseno e' stato disintegrato e l'unica cosa che e' rimasta e' una sequenza di periodo 3.

Fin qui abbiamo esposto i fatti nudi e crudi. Queste poche righe dovresti scolpirle nella tua memoria.

Se fin qui e' chiaro vediamo come funziona il trucchetto che ho usato prima.

Se la sequenza numerica e' stata ricavata da una funzione continua (di periodo $T$) tramite un campionamento periodico di periodo $T_c$, allora il periodo della sequenza numerica e' il minimo comune multiplo di $T$ e $T_c$ diviso $T_c$.
In formule: $N_0 = ("mcm" (T, T_c))/ T_c$

In ogni caso, $N_0$ e' un numero intero !!!

Quello che crea confusione e' che la sequenza numerica puoi sempre vederla come una funzione continua dove c'e' un treno di impulsi, e gli impulsi sono separati da un certo intervallo, ma questo e' un modo sbagliato di vedere le sequenze numeriche e devi evitare di usarlo perche' causa solo confusione.

Poi, vediamo al periodo fondamentale. Il concetto di periodo fondamentale c'e', ma non e' quello che pensi tu.
Gli altri periodi oltre a quello fondamentale sono sottomultipli del periodo fondamentale, non sono dei multipli.
Ovvero se il periodo fondamentale e' $T$, gli altri sono $T/2, T/3, T/4, ...$

Ora per quanto riguarda la DFT. Hai usato la DFT perché avevamo una sequenza periodica in $ n $ e, dato che è nata in seguito ad un'operazione di campionamento, periodica anche nel dominio della frequenza?
Premesso che non vi è traccia di questo argomento nei miei appunti, la definizione di DFT che ho trovato io è

$ F(\nu)=1/N*sum_(n=0)^(N-1) f(\tau)*e^(-i2\pi(\nu/N)\tau) $

Usando questa definizione avrei
$ Y(\nu)=1/3*sum_(n=0)^(2) y[n]*e^(-i2\pi(\nu/N)n) $$ =2/(3\pi)*sum_(n=0)^(2) cos((4\pi)/3n)*e^(-i2\pi(\nu/N)n) $ è così, o mi sto perdendo?

Va bene.

[xh144fata]

Ciao Quinzio, grazie per il tuo intervento. Dunque, ho trovato l'errore nel
Prendiamo la funzione $ f(t) = cos(4/3 \pi t) $ con $ t \in RR $. Nota: importantissimo.. $ t $ e' un numero reale !!! Questa funzione ha periodo $ 3/2 $.

Poi prendiamo la funzione $ y[n] = cos (4/3 \pi n) $ con $ n \in \NN $. Nota: importantissimo.. $ n $ e' un numero intero !!! Questa funzione ha periodo $ 3 $.

D'accordo, però questo non vuol dire che per avere il periodo in $ n $ si prende solo il numeratore del periodo in $ t $ ?

Allora abbiamo che
$ Y(\nu)=(1/3)*sum_(n=0)^(2) y[n]*e^(-i2\pi\nu/3n)= {0, 1/\pi, 1/\pi} $
Rappresentando lo spettro della sequenza $ y[n] $ abbiamo che quelli calcolati sopra sono i coefficienti di 3 $ \delta(\nu) $ , giusto? Inoltre, dalla teoria io so che gli spettri delle sequenze sono sempre periodici. Nel caso di una sequenza periodica, la sua trasformata conserva lo stesso periodo, perciò $ Y(\nu) = Y(\nu +N_0) $ . E' così?

[Quinzio]

Ciao Quinzio, grazie per il tuo intervento. Dunque, ho trovato l'errore nel
Prendiamo la funzione $ f(t) = cos(4/3 \pi t) $ con $ t \in RR $. Nota: importantissimo.. $ t $ e' un numero reale !!! Questa funzione ha periodo $ 3/2 $.

Poi prendiamo la funzione $ y[n] = cos (4/3 \pi n) $ con $ n \in \NN $. Nota: importantissimo.. $ n $ e' un numero intero !!! Questa funzione ha periodo $ 3 $.

D'accordo, però questo non vuol dire che per avere il periodo in $ n $ si prende solo il numeratore del periodo in $ t $ ?

Il numeratore di cosa ?
Il periodo puo' essere anche un numero reale, puo' essere qualunque cosa.
Anzi, quando porti questi concetti nelle applicazioni pratiche, a nessuno interessa piu' dei numeri frazionari, interi, reali e via dicendo.

[xh144fata]

Riordinando le idee, abbiamo che il periodo di una sequenza nata dal campionamento di un segnale analogico periodico è:
$ N_0*T_c=m*T_0 rArr N_0=m*T_0/T_c $ dove $ N_0, m $ sono interi, $ T_c $ è il passo di campionamento e $ T_0 $ il periodo del segnale analogico originario. Quindi, affinché la sequenza di campioni risulti periodica, $ T_0/T_c $ dev'essere un numero razionale.