Campionamento uscita sistema LTI

[Quinzio]

Quindi, affinché la sequenza di campioni risulti periodica, $ T_0/T_c $ dev'essere un numero razionale.

Si, ok. Il periodo della sequenza e' il denominatore di $T_0/T_c$.

Il denominatore non e' $T_c$ ma e' il denominatore di quel numero ai minimi termini.

[xh144fata]

Ho capito, grazie Quinzio. Un'ultima domanda: se ho il segnale $ x(t)=|cos(2\pif_0t)| $ e ne voglio la trasformata di Fourier, come dovrei fare? $ |cos(2\pif_0t)| $ dovrebbe essere periodico di periodo $ 1/(2f_0)=T_0/2 $ in $ t $ e sviluppando in serie avrei i coefficienti di Fourier dall'aspetto di $ X_k=2/T_0*\int_(-T_0/4)^(T_0/4) cos(2\pif_0t)*e^(-2i\pif_0kt)dt $ , assumendo che la funzione sia positiva in quell'intervallo. Ho però che questo integrale diventa $ (sin((\pif_0T_0)/2)*cos((\pif_0kT_0)/2)-k*cos((\pif_0T_0)/2)sin((\pif_0kT_0)/2))/(\pif_0-\pif_0k^2) $ che dovrebbe essere $ 0 $ poiché $ f_0=2/T_0 $ . Dov'è che sbaglio?

[Quinzio]

$ X_k=2/T_0\int_0^(T_0/2) cos(2\pi t/T_0)e^(-2i\pi k t/T_0)dt $

$\cos x = (e^{ix}+e^{-ix})/2$

$ X_k=2/T_0\int_0^(T_0/2) (e^{i 2\pi t/T_0}+e^{-i2\pi t/T_0})/2 e^(-2i\pi k t/T_0)dt $

$ X_k=1/T_0 [(e^{2\pi i t/T_0 (1-k)})/(2\pi i 1/T_0 (1-k))+(e^{- 2\pi i t/T_0 (1+k)})/(- 2\pi i 1/T_0 (1+k))]_0^(T_0/2) dt $

prosegui tu...

[xh144fata]

Grazie per la risposta Quinzio, a quanto pare il mio errore è stato $ \color{red} {f_0=2/T_0} $ . Pensavo che cambiando il periodo in seguito all'applicazione del modulo, cambiasse anche $ f_0 $ .
Abbiamo allora che $ X_(2p)= (-1)^(p+1)/(4p^2-1) *2/\pi $ in quanto i termini di indice dispari sono nulli.
Dunque $ x(t)= \sum_(p=-\infty)^(+\infty) X_(2p)*e^(-2i\pif_0(2p)t $ .
Ho tuttavia un dubbio: quando $ k = +- 1 $ ho che $X_k != 0 $, quindi non sono sicuro che quanto scritto sopra sia del tutto corretto. Devo allora scrivere i coefficienti di fourier come $ X_k=-2/\pi * cos(\pi/2 k)/(k^2 -1) $, così da non escludere quei due?