Sono incappato in questo esercizio.
Sia $f$ la funzione ottenuta estendendo per periodicità a tutto $\mathbb{R}$ la funzione:
$g(x)= \{ (x+1, ", se " -2<= x < 1), (5-3x, ", se " 1<= x <=2) :}$
Prima mi chiede di calcolare i coefficienti di Fourier $b_k$ per $k\in\mathbb{Z}$
allora mi calcolo $b_k=i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k})=frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\sin(\frac{2\pi}{T}kx)dx$
e trovo che $b_k=\pm\frac{8\sin(\frac{\pi}{2}k)}{(\pi k)^2}$ (ho messo $\pm$ perchè non sono sicuro sul segno, ma non importa)
Dopodiché mi chiede di calcolare il valore della serie di Fourier di $f$ sull'intervallo $[-2,2]$
Ho guardato le soluzioni e scrivono:
La funzione $f$ è continua su $\mathbb{R}$ e derivabile a tratti, quindi la sua serie di Fourier converge a $f$ in ogni punto.
Ma non spiega niente, si tratta mica dell'applicazione del criterio di Dirichelet?
Cioè che essendo $x+1$ e $5-3x$ derivabili, e che le derivate sono continue
e che esistono finiti i limiti sinistri e destri su $-2$ e $2$ di entrambe le funzioni e delle loro derivate,
e che $f(x)$ è continua su tutto $\mathbb{R}$ (avendola estesa per periodicità), allora $f(x)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\hat{f}_ke^{i\frac{2\pi}{T}kx}$ ??
Grazie