Mappa conforme del piano nel cerchio unitario

[dissonance]

C'è un piccolo typo: è corretto "...ottenendo \(t=\frac{1}{\sqrt{1+\xi^2+\eta^2}}\)", cosa che tra l'altro appare in modo corretto in tutte le formule successive.

A parte questo, mi hai convinto, quella è una proiezione stereografica.

Credo di avere decifrato il punto della questione che dicevamo prima, ovvero: la proiezione stereografica è conforme o non è conforme? Io dico che è conforme, in questo thread sembra che non lo sia, chi ha ragione?

La mappa $(\xi, \eta)\in\mathbb R^2\mapsto P_{(\xi, \eta)}\in S_-$ è conforme. (Qui $P_{(\xi, \eta)}$ è ciò che tu hai chiamato $P_t$). E questo è dimostrato in quel pdf che ho allegato prima, per esempio. Ma tu successivamente componi questa mappa con la proiezione $(x, y, z)\mapsto (x, y,0)\equiv w\in\mathbb C$: è qui che si perde la conformalità. Ad esempio i due vettori $(1,0,-1)$ e $(1,0,1)$ formano un angolo retto in $\mathbb R^3$, ma entrambi proiettano su \((1,0,0)\), quindi la proiezione non preserva gli angoli.

[gugo82]

Certo: la sfera è curva, mentre il piano è piatto.
Quindi è del tutto plausibile che la proiezione sulla sfera sia conforme, mentre non lo sia la sua proiezione sul piano.