Intendo che conservi gli angoli.
Grazie per il riferimento, lo leggerò appena possibile.
Prendo il piano $Oxy$ e lo immergo nello spazio $Oxyz$.
Scelgo $C=(0,0,1)$ e, fissato il punto $P=(xi,eta,0)$, interseco la semiretta:
$s_(CP): \{(x = t xi), (y = t eta), (z = 1 - t):}, text( con ) t >= 0$
con la semisfera:
$S_(-) :\{ (x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1), (0 <= z < 1):}$
ottenendo $t = 1/sqrt(1 + xi^2 + eta^2)$ ed il punto:
$P_t = (xi/sqrt(1 + xi^2 + eta^2), eta/sqrt(1 + xi^2 + eta^2), 1 - 1/sqrt(1 + xi^2 + eta^2))$;
poi proietto $P_t$ sul piano $Oxy$ ed ottengo la proiezione:
$P^\prime = (xi/sqrt(1 + xi^2 + eta^2), eta/sqrt(1 + xi^2 + eta^2))$.
Quindi la trasformazione è $w = z/sqrt(1 + |z|^2)$.
Non ti piace?
L'idea non era tanto dare un'idea della compattificazione $CC uu \{ oo\}$, ma un modello "visivamente decente" del piano proiettivo reale $mathbb(P)_2(RR)$; perciò non mi serve mandare $oo$ nel polo della semisfera, ma le direzioni/punti impropri nei punti del bordo della semisfera.