Problema di cauchy con le trasformate di laplace

[CallistoBello]

Assegnato il problema di cauchy:

$ { ( y''(t)+4y'(t)+3y(t)=0 ),( y(0)=3),( y'(0)=1 ):} $

e se ne calcoli, se esiste, la soluzione usando la trasformata di laplace.

Mio svolgimento:

1. trasformo l'equazione differenziale in una equazione algebrica utilizzando la proprietà di trasformazione della derivata seconda e della derivata prima

Dato $s in C$,
$s^2Y-sy(0)-y'(0)+4(sY-y(0))+3Y=0$

$s^2Y-3s-1+4(sY-3)+3Y=0$

ed esplicito la L-trasformata della soluzione:
$(s^2+4s+3)Y=3s+12+1$

$Y(s)= (3s+13)/(s^2+4s+3)$

2. anti-trasformo i due membri dell'equazione

Siamo nel caso di una funzione razionale il cui denominatore ha discriminante positivo, quindi il denominatore ha due radici reali. Dunque , si può decomporre: $s^2+4s+3=(s+3)(s+1)$

E quindi, la funzione si può spezzare col metodo dei fratti semplici:

$ (3s+13)/(s^2+4s+3)=A/(s+3)+B/(s+1)$

Da qui , tramite passaggi algebrici si ottiene che: $A=1$ e $B=4$

Quindi , ricordando la trasformata dell'esponenziale reale, si ha che:

$Y(s)= 1/(s+3)+4/(s+1)= L[e^-(3x)](s) +4 L[e^-x](s)= L[e^(-3x)+4e^-x](s)$

Risultato: $y(x)= e^(-3x)+4e^-x$


Wolfram mi suggerisce invece : $y(x)=e^(-3x) (5e^(2x)-2)$

Dov'è l'errore?

[gugo82]

Anzitutto, che bisogno c'è di scomodare Laplace o Wolframalpha per una EDO lineare omogenea del secondo ordine?
La soluzione è del tipo $y(x) = A e^(-x) + B e^(-3x)$, da cui imponendo le condizioni iniziali si trova:

$\{(A+B=3),(-A-3B=1):} => \{(B=-2),(A=5):}$.

Per il resto, l'unica cosa che puoi aver sbagliato sono i calcoli nella scomposizione in fratti semplici o nella traslazione in frequenza... Controlla un po'.

[pilloeffe]

Ciao CallistoBello,

Dov'è l'errore?

Veramente a me risulta che si ha:

$ (3s+13)/(s^2+4s+3) = 5/(s + 1) - 2/(s + 3) $

[CallistoBello]

Ciao CallistoBello,

Dov'è l'errore?

Veramente a me risulta che si ha:

$ (3s+13)/(s^2+4s+3) = 5/(s + 1) - 2/(s + 3) $

Si , confermo l'errore nei fratti semplici.

Grazie mille

[dissonance]

La tua è sbagliata perché non rispetta nessuna delle due condizioni iniziali. Nota che le esponenziali sono le stesse che appaiono in Wolfram, solo i coefficienti sono diversi. Si tratta di sicuro di un errore di conto nell'imporre le condizioni iniziali.