Ciao Califfo02,
Califfo02 ha scritto:[...]ha chiesto in particolare come mai sono definiti entrambi.
Intendiamoci, non è che la domanda del professore brilli per chiarezza, ma forse una possibile interpretazione della richiesta potrebbe essere la seguente.
Utilizzando il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt è possibile costruire, partendo dal sistema delle potenze $\{x^n\}$ un sistema completo di polinomi $\{P_n(x)\}$, di grado uguale all'indice, che risultino ortogonali in un dato intervallo $(a, b) $ arbitrario ($(- 1, 1)$ nel caso in esame) e rispetto ad una prefissata funzione peso $w(x) $ (dall'inglese
weight), che nel caso in esame è diversa per i polinomi di Legendre e per quelli di Chebyshev. I coefficienti di tali polinomi risulteranno essere sempre reali, come conseguenza della realtà delle potenze di $x$ e delle funzioni peso $w(x)$; conseguentemente la relazione di ortogonalità si può scrivere semplicemente
$\langle P_k, P_l \rangle = \int_a^b P_k(x)P_l(x)w(x) = 0 $
per $k \ne l $
Risulta evidente che l'$n$-esima potenza di $x$ è esprimibile come combinazione lineare dei primi $n + 1$ polinomi di una tale famiglia:
$x^n = \sum_{k = 0}^{n} c_k P_k(x) $
Ora, nulla vieta di porre $x := cos \theta + i sin \theta $ e ricordando la formula di De Moivre si ha:
$(cos \theta + i sin \theta)^n = cos(n\theta) + i sin(n\theta) = \sum_{k = 0}^{n} c_k P_k(cos\theta + i sin \theta) $
Applicando il binomio di Newton al primo membro, separando la parte reale da quella immaginaria
ed utilizzando $i^{2k} = (-1)^k $ e la relazione fondamentale della trigonometria $sin^2 \theta = 1 - cos^2 \theta $, si può ottenere la rappresentazione seguente:
$cos(n\theta) = \sum_{k = 0}^{\lfloor n/2 \rfloor}((n),(2k)) (cos^2\theta - 1)^k (cos \theta)^{n - 2k} $
Quest'ultima equazione mostra che $cos(n\theta)$ è un polinomio di $cos \theta$ di grado $n$ con coefficiente principale positivo. A questo punto nulla vieta di definire il polinomio (di Chebyshev di prima specie) come segue:
$T_n(t) = cos(n\theta) = \sum_{k = 0}^{\lfloor n/2 \rfloor}((n),(2k)) (t^2 - 1)^k t^{n - 2k}$
ove $ t = cos\theta $