Segno di un integrale doppio

[andreadel1988]

Sia $D={(x,y)inRR^2|y<=|x+1|,y>=x^2-3,x<=0}$. Senza fare calcoli si motivi perchè ci si aspetta che $I=\intint_D x dxdy$ sia un numero negativo.

Sia $D'={(x,y)inRR^2|y<=|x+1|,y>=x^2-3,x<0}$ e $A={(x,y)inRR^2|x=0,-3<=y<=1}$. Per additività della funzione integrale abbiamo che:
$I=\intint_{D'} x dxdy+\intint_A x dxdy=\intint_{D'} x dxdy$ (poichè $A$ è un insieme di $L^2$-misura nulla)
Quindi preso $x inD'$ abbiamo che $x<0$ e per monotonia dell'integrale $I=\intint_{D'} x dxdy<0$, direi che può andare?.

[otta96]

Si se noti anche che invece $D'$ ha misura positiva.

[andreadel1988]

Si se noti anche che invece $D'$ ha misura positiva.

Non è negativa? Intendi $L^2(D')$?

[otta96]

Come fa la misura di un insieme ad essere negativa?

[andreadel1988]

Come fa la misura di un insieme ad essere negativa?

Si hai ragione scusa, ma non ho capito bene cosa c'entri che la misura $D'$ sia positiva con il fatto che l'integrale sia negativo.

[otta96]

Se fosse nulla cosa succederebbe?

[andreadel1988]

Se fosse nulla cosa succederebbe?

A giusto l'integrale sarebbe nullo, però vabbe effettivamente lo dovevo dire.

[andreadel1988]

Quindi posso usare lo stesso procedimento che ho usato prima per l'insieme $V={(x,y,z)inRR^3| x^2+y^2+z^2<=11, z>=1+x^2+y^2}$ e $I=\intintint_V x^2e^z dxdy $ con $V'={(x,y,z)inRR^3| x^2+y^2+z^2<=11, z>=1+x^2+y^2,x!=0}$ e $A={(x,y,z)inRR^3| y^2+z^2<=11,z>=1+y^2,x=0}$ dato che $L^3(A)=0$ (e $L^3(V')!=0$) e se $x inV'$ allora $x^2e^z>0$ e quindi $I>0$?

[pilloeffe]

Ciao andreadel1988,

Senza fare calcoli si motivi perchè ci si aspetta che $I=\int\int_D x\text{d}x \text{d}y $ sia un numero negativo.

Capisco la logica della domanda, ma nel caso specifico non è poi neanche così complicato calcolarselo l'integrale:

$I = \int\int_D x\text{d}x \text{d}y = \int_{-2}^{- 1} (\int_{x^2 - 3}^{-x - 1} \text{d}y) x\text{d}x + \int_{-1}^{0} (\int_{x^2 - 3}^{x + 1} \text{d}y) x\text{d}x = $
$ = \int_{-2}^{- 1} (-x - 1 - x^2 + 3) x\text{d}x + \int_{-1}^{0} (x + 1 - x^2 + 3) x\text{d}x = $
$ = \int_{-2}^{- 1} (-x^2 - x - x^3 + 3x) \text{d}x + \int_{-1}^{0} (x^2 + x - x^3 + 3x) \text{d}x = $
$ = \int_{-2}^{- 1} (-x^2 - x^3 + 2x) \text{d}x + \int_{-1}^{0} (x^2 + 4x - x^3) \text{d}x = $
$ = - 19/12 - 17/12 = - 36/12 = - 3 < 0 $

[pilloeffe]

l'insieme $V={(x,y,z) \in \RR^3| x^2+y^2+z^2<=11, z>=1+x^2+y^2}$ e $I=\intintint_V x^2e^x dxdy$

Attenzione che nell'integrale ti sei dimenticato un $\text{d}z$...
Poi $x^2+y^2+z^2 \le 11 $ è l'equazione di una sfera di centro $O(0,0,0) $ e raggio $\sqrt11$, quindi potrebbe anche essere $z < 0 $: ciò che ci garantisce che così non può essere è l'altra condizione $z \ge 1+x^2+y^2 $, che essendo una somma di quadrati è senz'altro positiva (anche nel caso $x = y = 0 $), sicché per ogni $(x, y) \in \RR^2 $ si ha $0 < 1 \le 1+x^2+y^2 \le z \le \sqrt{11 - x^2 - y^2} $

Comunque questi sono argomenti di Analisi matematica II, la stanza più adatta è quella di Analisi matematica di base, non quella di Analisi superiore: te lo dico per le prossime volte, qui ormai per spostare il thread è necessario l'intervento di un moderatore...