Serie di Laurent

[SteezyMenchi]

Salve a tutti. Avrei qualche problemino a trovare la serie di Laurent di
$f(z)=1/(zsinhz)$ centrata in $0$. Mi serve per trovare il residuo ma non riesco a isolarmi i termini nella forma solita con potenze negative e positive della $z$.
Sono arrivato a $1/(z^4(1/z^2+1/6+…))$ e non so come procedere.
Ringrazio in anticipo chi vorrà dare una mano

[pilloeffe]

Ciao SteezyMenchi,

Procederei inversamente osservando che $z=0$ è un polo del primo ordine per la funzione $g(z) := 1/(sinh(z)) $, quindi $g(z) $ ammette uno sviluppo in serie di Laurent del tipo $\sum_{n = - 1}^{+\infty} a_n z^n $. Sicché si può scrivere:

$\sum_{n = - 1}^{+\infty} a_n z^n \cdot sinh(z) = 1 $

Ricordando lo sviluppo in serie di Taylor di $sinh(z) = z + z^3/(3!) + z^5/(5!) + ... = \sum_{n = 1}^{+\infty} z^{2n - 1}/((2n - 1)!) $ si possono calcolare i coefficienti $a_n$ termine a termine eguagliando i coefficienti delle potenze di $z$. A questo punto è sufficiente moltiplicare per $1/z$ per ottenere lo sviluppo in serie di Laurent di $f(z) $
Dopo qualche calcolo si ottiene:

$f(z) = 1/(z sinh(z)) = 1/z^2 - 1/6 + 7/360 z^2 + o(z^4) $

Sicché si ha $\text{Res}[f(z); z = 0] = 0 $

[SteezyMenchi]

Cosa intendi con uguagliare i coefficienti delle potenze di $z$?
Anzi partiamo da alcuni dubbi: il fatto che tu abbia fatto partire la serie di Laurent da $n=-1$ e non dal generico $n = -\infty$ deriva per caso dal fatto che $z=0$ è uno polo singolo per la $g(z)$? In caso puoi abbozzare una spiegazione, al momento non mi viene altra ragione.
Passiamo alle domande successive: le due serie moltiplicate tra loro mi danno qualcosa del tipo:
$(a_{-1}+ a_{-1}z^2/6+a_{-1}z^4/(5!)+...)+ (a_0z+ a_0z^3/6+a_0z^5/(5!)+...)+ (a_1z^2+a_1z^4/6+a_1z^6/(5!)+...) = a_{-1}+z(a_0)+z^2(a_1+ a_{-1}/6)+z^3(a_0/6)$
Poi non ho capito cosa dovrei fare: ho provato a eguagliare i coefficienti a quelli della serie $S= 1$ ottenendo: qualcosa del tipo: $a_1 = 1, a_0=0,...$ ma avrei tutti nulli tranne quelli relativi a $n=0$ il che non mi porterebbe a nulla.
Puoi spiegarmi nuovamente il procedimento da te adottato?
Spero di arrecarti eccessivo disturbo. Ti ringrazio comunque per la risposta data Pillo

[pilloeffe]

il fatto che tu abbia fatto partire la serie di Laurent da $n=−1$ e non dal generico $n=−\infty $ deriva per caso dal fatto che $z=0$ è uno polo singolo per la $g(z)$?

Esattamente.

Per la moltiplicazione delle serie basta ovviamente limitarsi ai primi termini, tanto in realtà poi ci interessa principalmente il coefficiente di $z^{- 1}$ nello sviluppo in serie di Laurent di $f(z) $. Quindi scriverei:

$ (a_{-1}z^{- 1} + a_0 + a_1z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + ... )(z + z^3/(3!) + z^5/(5!) + ... ) = 1 $

$ a_{-1} + a_{-1} z^2/(3!) + a_{-1} z^4/(5!) + a_0 z + a_0 z^3/(3!) + a_0 z^5/(5!) + a_1 z^2 + a_1 z^4/(3!) + a_1 z^6/(5!) + a_2 z^3 + a_2 z^5/(3!) + a_2 z^7/(5!) + $
$ + a_3 z^4 + a_3 z^6/(3!) + a_3 z^8/(5!) + ... = 1 $

$ a_{-1} + a_0 z + a_{-1} z^2/(3!) + a_1 z^2 + a_0 z^3/(3!) + a_2 z^3 + a_{-1} z^4/(5!) + a_1 z^4/(3!) + a_3 z^4 + a_0 z^5/(5!) + a_2 z^5/(3!) + $
$ + a_1 z^6/(5!) + a_3 z^6/(3!) + a_2 z^7/(5!) + a_3 z^8/(5!) + ... = 1 $

$ a_{-1} + a_0 z + (a_{-1}/(3!) + a_1) z^2 + (a_0/(3!) + a_2)z^3+ (a_{-1}/(5!) + a_1/(3!) + a_3)z^4 + (a_0/(5!) + a_2/(3!))z^5 + (a_1/(5!) + a_3/(3!)) z^6 + a_2 z^7/(5!) + a_3 z^8/(5!) + ... = 1 $

Quindi deve essere:

$ a_{-1} = 1 $
$ a_0 = 0 $
$ a_{-1}/(3!) + a_1 = 0 \implies a_1 = - 1/6 $
$ a_2 = 0 $
$ a_{-1}/(5!) + a_1/(3!) + a_3 = 0 \implies a_3 = - 1/(5!) + 1/(3!)^2 = 7/360 $

Pertanto si ha:

$ g(z) := 1/(sinh(z)) = 1/z - 1/6 z + 7/360 z^3 + o(z^5) $

Sicché in definitiva si ha:

$f(z) = (g(z))/z = 1/z^2 - 1/6 + 7/360 z^2 + o(z^4) $

[SteezyMenchi]

Ah ok avevo interpretato tutto correttamente dunque. Mi sembra davvero una soluzione intelligente, non credo ci sarei mai arrivato da solo, ti faccio i miei complimenti Pillo e ti ringrazio per il chiarimento dato

[Mephlip]

Per scrivere in maniera più compatta e rigorosa le moltiplicazioni tra serie, puoi usare il prodotto di Cauchy per serie.

[pilloeffe]

Ah ok avevo interpretato tutto correttamente dunque.

Sì, però ti sei fermato troppo presto nello sviluppo in serie di Laurent $\sum_{n = - 1}^{+\infty} a_n z^n $, devi arrivare almeno fino a $n = 3 $: comunque te ne dovresti accorgere perché ottieni assurdità, infatti

ho provato a eguagliare i coefficienti a quelli della serie $S=1$ ottenendo: qualcosa del tipo: $a_1=1$, $a_0=0$,... ma avrei tutti nulli tranne quelli relativi a $n=0$ [casomai a n = 1, per n = 0 è anch'esso nullo] il che non mi porterebbe a nulla.

ti faccio i miei complimenti Pillo

Grazie!

e ti ringrazio per il chiarimento dato

Prego!