trasformata di Fourier, PDEs

[SteezyMenchi]

Salve a tutti, mi servirebbe un aiuto con questo esercizio:
Devo risolvere l'equazione
$\partial_tf(x,t) = -e^{-t}\partial_xf(x,t), IC: f(x,0) = g(x) = e^{-x^2}, t \in [0,\infty[$
Sono passato in TdF ottenendo(ometto gli estremi di integrazione noti):
$f(x,t) = 1/\sqrt{2\pi} \int \hat{f} (k,t)e^{ikx}dk$
ove $\hat{f}(k,t) = 1/\sqrt{2\pi} \int f(x,t)e^{-ikx}dx$
$d/dt\hat{f}(k,t) = -ike^{-t}\hat{f}(k,t)$
Da cui :
$\hat{f}(k,t) = \hat{f}(k,0)e^{ik(e^{-t}-1)}$
Adesso ho che:
$\hat{f}(k,0) = 1 / \sqrt(2\pi) \int f(x,0)e^{-ikx}dx = 1 / \sqrt(2\pi) \int e^{-x^2}e^{-ikx}dx$
Questo integrale l'ho svolto e se non ho sbagliato i conti dovrebbe valere:
$\hat{f}(k,0) = 1/\sqrt(2a) e^{-k^2 / (4a)}$ ove nel nostro caso $a = 1$ da cui:
$\hat{f}(k,0) = 1/\sqrt(4\pi) e^{-k^2 / (4)}$
Da cui:
$\hat{f}(k,t) = 1/\sqrt(4\pi) e^{-k^2 / (4)} e^{ik(e^{-t}-1)}$ e dunque, rimettendo tutto nell'espressione iniziale:
$f(x,t) = 1 / \sqrt(2\pi) \int 1/\sqrt(4\pi) e^{-k^2 / (4)} e^{ik(e^{-t}-1)} e^{ikx}dk$
Da qui non ho idea di come procedere. Ho probabilmente sbagliato qualunque cosa siccome la soluzione del prof è:
$f(x,t) = e^-{(x-1+e^{-t})^2}$

[Noodles]

Sei sicuro di doverla risolvere con la trasformata di Fourier? Te lo chiedo perchè si tratta della classica equazione da risolvere con il metodo delle carattteristiche.

[SteezyMenchi]

No ovviamente ho deciso io di risolverlo in trasformata. Ma il corso è incentrato su questo, le funzioni caratteristiche le abbiamo solo accennate in una lezione perciò non le abbiamo mai usate.
Comunque sei hai una soluzione differente non esitare a postarla, è sempre meglio vedere come risolvere un esercizio con più approcci.

[pilloeffe]

Ciao SteezyMenchi,

$d/dt\hat{f}(k,t) = -ike^{-t}\hat{f}(k,t) $

Fino a qui ti ho seguito, poi c'è qualcosa che non mi torna...
L'Equazione Differenziale Ordinaria (EDO o ODE in inglese) è lineare del primo ordine a variabili separabili, sicché la sua soluzione sarà del tipo

$ \hat{f}(k,t) = C(k) e^{ik e^{- t}} $

Per determinare la costante $C(k) $ basta vedere cosa accade per $t = 0 $:

$ \hat{f}(k,0) = C(k) e^{ik} \implies C(k) = \hat{f}(k,0) e^{- ik} $

Ne consegue che si ha:

$ \hat{f}(k,t) = \hat{f}(k,0) e^{- ik} e^{ik e^{- t}} = \hat{f}(k,0) e^{- ik(1 - e^{- t})} $

A questo punto conviene calcolarsi $\hat{f}(k,0) $:

$ \hat{f}(k,0) = 1/\sqrt(2\pi) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,0)e^{-ikx} \text{d}x = 1/\sqrt(2\pi) \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}e^{-ikx} \text{d}x = e^{- k^2/4}/\sqrt2 $

Quindi in definitiva si ha:

$ \hat{f}(k,t) = e^{- k^2/4}/\sqrt2 e^{- ik(1 - e^{- t})} = 1/\sqrt2 e^{- k^2/4 - ik(1 - e^{- t})} $

A questo punto antitrasformando si ha:

$f(x, t) = 1/\sqrt{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f} (k,t) e^{ikx} \text{d}k = 1/\sqrt{4\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- k^2/4 - ik(1 - e^{- t})} e^{ikx} \text{d}k = $
$ = 1/\sqrt{4\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- k^2/4 - ik(1 - x - e^{- t})} \text{d}k = e^{-[(x-1)+e^{-t}]^2} $

come ha scritto il tuo professore.
Mi preme farti osservare che l'ultimo integrale scritto appare più complicato di quello che è, ma di fatto è analogo a quello che hai già risolto poc'anzi in $\text{d}x$: infatti l'integrazione è in $\text{d}k$, quindi la quantità $(1 - x - e^{- t})$ è una costante (rispetto a $k$), la potresti chiamare ad esempio $\beta $ se ti semplifica le cose...

Potrebbe tornarti comodo dare un'occhiata anche a questo thread.

[SteezyMenchi]

Si pillo una riga di latex mi si era persa, quella della soluzione della ODE, che avevo sbagliato a risolvere, non so per quale strana ragione invece di un integrale indefinito ho integrato tra $0$ e $ t$. Poi ho fatto una serie di altri piccole dimenticanze dopo che mi hanno praticamente inficiato tutti i calcoli successivi. Ti ringrazio per aver fatto chiarezza, purtroppo la stanchezza comincia a farsi sentire, son giorni che non faccio altro che risolvere pdes e esercizi di complex analysis.