Data la PDE $\partial_t f(x,t) = \partial_{x x}^2f- \partial_xf-f$ con $x$ sulla retta ($x \in \RR$) e condizione iniziale $f(x,0) = \frac{e^{-x^2 / 2}}{\sqrt(2\pi)}$. Determinare l'espressione generale $f(x,t)$
Passo in trasformata di Fourier (da adesso in poi il coefficiente $1 / (\sqrt(2\pi))$ lo chiamerò $beta$ e ometto gli estremi di integrazione noti):
$f(x,t) = \beta \int e^{ikx}\hat{f}(k,t)dk, \hat{f}(k,t) = \beta \int e^{-ikx'}f(x',t)dx'$.
Saltando un pò di calcoli banali ottengo:
$\partial_t\hat{f} = (-k^2-ik-1)\hat{f}$
Da cui:
$\hat{f} = e^{-t(k^2+ik+1)}\hat{f}(k,0), \hat{f}(k,0) = \beta \int f(x,0)e^{-ikx}dx = 1 / (2\pi) \int e^-((x')^2/ 2)e^{-ikx'}dx'$
RImettendo tutto nella prima si ha:
$\beta \beta^2 \int\int e^{ikx -ikx'-k^2t-ikt-t}e^{-(x')^2 / 2}dx'dk$
Dopo lunghe tribolazioni sono arrivato ad una forma più carina:
$\beta \beta^2 e^{-t}\int \int e^{ik(x-t-x'}e^{-k^2t}e^{-\frac{x'^2}{2}}dx'dk$
analizziamo separatamente il termine(ometto alcuni calcoli di risultati noti che riporto):
$\beta \int e^{ik(x-t-x')} e^{-tk^2} dk = {a = t, y = x-t-x'} = \beta \int e^{iyk}e^{-ak^2}dk = 1 / (\sqrt{2a})e^{-\frac{y^2}{4a}} = 1 / \sqrt{2t}e^{-\frac{(x-t-x')^2}{4t}}$
Si ha quindi:
$\1/\sqrt{2\pi} 1 / \sqrt{4\pit}e^{-t}\int e^{-\frac{(x-t-x')^2}{4t}}e^{-\frac{x'^2}{2}}dx'$
Adesso il gioco è praticamente fatto siccome quella sopra dovrebbe essere la convoluzione di due gaussiane:
$\mathcal{N}_1(\mu_1 = t, \sigma_1 = \sqrt{2t}), \mathcal{N}_2(\mu_2 = 0, \sigma_2 = 1)$
Dunque, siccome la convoluzione di due gaussiane è anch'essa una gaussiana con media uguale alla somma delle medie e varianze uguale alla somma delle varianze ottengo infine:
$f(x,t) = \frac{e^{-t}}{\sqrt{2\pi(1+2t)}}e^{-\frac{(x-t)^2}{2(1+2t)}}$
Vorrei sapere se anche a voi torna lo stesso risultato, e ovviamente se ho commesso errori o imprecisioni fatemelo notare
