convoluzione di funzioni, trasformata di Fourier

[SteezyMenchi]

Non voglio sembrare disperato, ma stavolta non ho la più pallida idea di come risolvere un esercizio: cioè credo di sapere come andrebbe risolto in teoria ma in pratica non saprei proprio, non è il solito esercizio cui sono abituato, credo ci sia qualche trucco per risolverlo facilmente (sì il professore ama mettere esercizi all'apparenza impossibili, ma con la giusta intuizione dovrebbero diventare facilissimi). Riporto l'esercizio uguale a com'è scritto:
Data la funzione $P(x) = H(x)e^{-x}$, ove quella è la funzione gradino (o di Heaviside), calcolare:
$f(x) = \int \int P(x_1)P(x_2)\delta(x-x_1-x_2)dx_1dx_2$
Adesso io posso scommetterci tutto quello che ho che si tratta di una convoluzione (come ho specificato nell'header), tuttavia non riesco a capire come scriverla nella forma a me nota della convoluzione. Una volta messa in quella forma magari usare le proprietà della trasformata di una convoluzione e poi antitrasformare.
Vi prego illuminatemi. E, per favore, stavolta non saltate alcun ragionamento, o comunque trucchi con i quali voi risolvereste questo tipo di esercizi.

[Quinzio]

Avresti vinto la scommessa
E' una convoluzione sotto mentite spoglie.

Bisogna liberarsi di quel $\delta$ che crea la confusione.

I passaggi formali sono questi...

prima si fa una rotazione di 45 gradi del piano $x_1, x_2$

${ ( y_1 = (x_1+x_2)/\sqrt 2 ),( y_2 = (x_1-x_2)/\sqrt 2 ):}$

Adesso l'integrale diventa

$ f(x) = \int \int P((y_1+y_2)/\sqrt 2)P((y_1-y_2)/\sqrt 2)\delta(x-\sqrt 2 \ y_1)dy_1dy_2 $

Poi si fa una traslazione del piano $y_1, y_2$.

Attenzione che la $x$ e' una mera costante, quando e' dentro all'integrale.

La traslazione e' $ y_3 = x / \sqrt 2 - y_1$

Abbiamo

$ f(x) = \int \int P((x / \sqrt 2 - y_3 + y_2)/\sqrt 2)P((x / \sqrt 2 - y_3 - y_2)/\sqrt 2)\delta(\sqrt 2 \ y_3)dy_3dy_2 $

A questo punto guardiamo la $\delta$ di Dirac. Ha valore diverso da zero solo per $y_3 = 0$, quindi vuol dire che in pratica un integrale "scompare" e la $y_3$ viene sostituita dal valore zero.

Attenzione al riscalamento della $\delta$ nella variabile indipendente: https://proofwiki.org/wiki/Scaling_Prop ... a_Function per cui $\delta(\sqrt 2 \ y_3) = 1/ \sqrt 2 \delta( \ y_3)$

$ f(x) = 1/ \sqrt 2 \int P((x / \sqrt 2 + y_2)/\sqrt 2)P((x / \sqrt 2 - y_2)/\sqrt 2)\ dy_2 $

Facciamo un altra traslazione $y_4 = x / \sqrt 2 + y_2$

$ f(x) = 1/ \sqrt 2 \int P((y_4)/\sqrt 2)P((\sqrt 2 x - y_4)/\sqrt 2)\ dy_4 $

Ed abbiamo finito, abbiamo un integrale uguale a quello di convoluzione classico $y(t)= \int x(\tau)h(t-\tau) d\tau$.

Ovviamente ci sono di mezzo altri riscalamenti, ma la forma e' quella. Dove $t -> y_4$ e $\tau = x$.

Poi, siccome, nella funzione $P(x)$ c'e' la Heaviside, l'integrale di puo' scrivere nella forma definita ed eliminare la Heaviside.

$ f(x) = 1/ \sqrt 2 \int_0^{\sqrt 2 x} \bar P((y_4)/\sqrt 2) \bar P( x - y_4/\sqrt 2)\ dy_4 $ solo per $x > 0 $

dove $\bar P(x) = e^{-x}$

D'altra parte

$\bar P((y_4)/\sqrt 2) \bar P((x / 2 - y_4)/\sqrt 2) = exp(-(y_4)/\sqrt 2) exp(-x + y_4/\sqrt 2) = exp (-x)$

quindi

$ f(x) = 1/ \sqrt 2 \int_0^{\sqrt 2 x} e^(-x) \ dy_4 = x e^(-x)$ solo per $x > 0 $

[SteezyMenchi]

Quinzio, ti ringrazio per la risposta innanzitutto. Tuttavia, devo essere sincero: non ho la più pallida idea di come tu sia arrivato alla soluzione (davvero elegante). Il problema è che all'esame non riuscirei a replicare tali ragionamenti, che a me sembrano davvero scesi dal cielo (purtroppo il mio livello di conoscenza ne è la causa)
Adesso provo a ragionare con le funzioni caratteristiche. Penso di essere arrivato a qualcosa.
Quinzio, comunque la tua soluzione è diversa da quella riportata dal professore:
$f(x) = H(x)xe^{-x}$

[Quinzio]

Quinzio, comunque la tua soluzione è diversa da quella riportata dal professore:
$f(x) = H(x)xe^{-x}$

Il fatto che la risposta corretta contenga $H(x)$ e' corretto siccome il mio ultimo integrale ha senso solo per $x>0$, ovvero se l'estremo superiore scende sotto quello inferiore, l'integrale non vale piu' e il risultato e' zero.
Quindi ok per la $H(x)$.
Poi ci sono quei fattori $1/(2\sqrt2)$ che vengono fuori dai riscalamenti, devo avere sbagliato qualcosa.
Con un po' di calma ci riguardo.
Poi proviamo a farlo anche con le trasformate.

[SteezyMenchi]

Sono riuscito a risolverlo. tra 5 minuti posto la mia soluzione. Speriamo sia accettabile

[SteezyMenchi]

Ecco la soluzione:
Da una lezione sulla probabilità del mio professore prendo i seguenti risultati:
supponiamo di avere due variabili indipendenti $P_x(x),P_y(y)$. Definisco $z = x-y$ e abbiamo che
$P_z(z) = \int P_x(z-y)P_y(y)dy = \int \int P_x(x)P_y(y)\delta(z-x-y)$. Ripeto, non so nulla di probabilità trattata da un punto di vista matematico dignitoso, il professore è molto appassionato(fan sfegatato di Kolmogorov) e dunque ci ha fatto due lezioni su funzioni caratteristiche e dimostrazione del teorema del limite centrale). Mi affido ai miei appunti in caso qualcuno fosse interessato allegherò in un messaggio a parte le pagine di appunti che ho scritto.
Ritornando al nostro problema, con una semplice analogia (questo passaggio non so giustificarlo, perciò supponiamo sia valido), ottengo che la nostra $f(x) = \int P(x_1)P(x-x_1)dx_1$, ovvero la convoluzione di $P(x_1)$ con se stessa.
Passo in trasformata di Fourier e sfrutto le proprietà note del teorema di convoluzione:
$\mathcal{F}{P(x_1) \ast P(x_1)} = \sqrt(2\pi) \mathcal{F}^2{P(x_1)} [1]$
Adesso calcoliamo $\mathcal{F}{g}, g = P(x_1)$:
$\mathcal{F}{g} = 1 / \sqrt(2\pi) \int_{-\infty}^{\infty}H(x)e^{-x}e^{-ikx}dx $
lo spezzo in due parti per via della funzione gradino, anche se ho paura che questo passaggio vada in qualche modo giustificato ulteriormente:
(da adesso in poi chiamo $\gamma = 1 / \sqrt(2\pi)$):
$\{ ( 0, x < 0), (gamma\int_{0}^{\infty}e^{-x(1+ik)}dx, x > 0) :}$
L'integrale è facilmente risolvibile, si ottiene facendo i conti:(non riporto i banali calcoli). Inoltre da adesso in poi mi restringo al caso $x>0$ siccome la trasformata di Fourier della $P(x_1)$ ( e quindi quella della $f(x)$) avranno estremi di integrazione $[0,\infty[$. Mentre nell'altra parte dell'intervallo avremo tutto uguale a zero necessariamente per via di come è definita la step fucntion (almeno credo sia così, ovviamente potrei sbagliarmi).
$\mathcal{F}{g}(k) = \{ ( 0, x < 0), (gamma 1 / (1+ik), x > 0) :}$ e dalla $[1]$ ottengo quiindi:
$\mathcal{F}{f}(k) = (1 / \gamma) \gamma^2 1 / (1+ik)^2$
Antitrasformo e ottengo:
$F^{-1}{\hat{f}(k)} = \gamma \int_{-\infty}^{\infty} \gamma 1 / (1+ik)^2 e^{ikx}dk = \gamma^2 \int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx} / (1+ik)^2 dk$
Ho proceduto calcolando quell'integrale, che chiamo $I$:
Considero la continuazione banale nei complessi: $\int_{\-infty}^{\infty}e^{ikz} / (i^2(z-i)^2) dz$.
La $f(z)$ ha un polo doppio in $z = i$. Considero, per $k>0$ , un cammino $\Gamma$, che è una semicirconferenza nel semipiano $Im{z} > 0$ e ciò mi permette di utilizzare il lemma di Jordan. Ottengo infine, per $k>0$ il seguente risultato:
$\int_{\Gamma}f(z)dz = 2\pi i Res(f,z = i) = 2\pi i (-ix) / e^{\alpha}$
Tale integrale si riduce proprio all'integrale su $\RR$ siccome il contributo lungo la parte superiore della semicirconferenza è nullo prendendo il limite per $R \to \infty$. Abbiamo quindi:
$1 / (2\pi) I = 1 / (2\pi) 2\pi x e^{-x}, x > 0$
Dunque infine si ha:
$f(x) = \{ ( 0, x < 0), (xe^{-x} , x> 0 ):} = xe^{-x} H(x)$
Molti passaggi non sono per nulla certi sarò sincero, e avrò fatto una marea di errori però spero che la sostanza, almeno quella, abbia una qualche parvenza di una soluzione quantomeno accettabile. Non credo di avere gli strumenti matematici per giustificare qualsiasi passaggio, tipo quel restringersi $k>0$ per usare il lemma di Jordan. Forse si poteva prendere lo stesso cammino nel semipiano inferiore per $k<0$ ma il teorema dei residui mi darebbe poi che l'integrale è nullo.
Ho mandato il conto anche al mio professore, in caso vi dirò se la soluzione da me proposta sia quantomeno accettabile. Speriamo bene

[Quinzio]

Ho corretto il mio post, l'errore era $1/\sqrt2 + 1/\sqrt2 = 1/2$ !!!

[Quinzio]

Ecco la soluzione:
Da una lezione sulla probabilità del mio professore prendo i seguenti risultati:
supponiamo di avere due variabili indipendenti $P_x(x),P_y(y)$. Definisco $z = x-y$ e abbiamo che
$P_z(z) = \int P_x(z-y)P_y(y)dy = \int \int P_x(x)P_y(y)\delta(z-x-y)$. Ripeto, non so nulla di probabilità trattata da un punto di vista matematico dignitoso, il professore è molto appassionato(fan sfegatato di Kolmogorov) e dunque ci ha fatto due lezioni su funzioni caratteristiche e dimostrazione del teorema del limite centrale). Mi affido ai miei appunti in caso qualcuno fosse interessato allegherò in un messaggio a parte le pagine di appunti che ho scritto.
Ritornando al nostro problema, con una semplice analogia (questo passaggio non so giustificarlo, perciò supponiamo sia valido), ottengo che la nostra $f(x) = \int P(x_1)P(x-x_1)dx_1$, ovvero la convoluzione di $P(x_1)$ con se stessa.

Ok.
I concetti da usare sono gli stessi che ho usato io, anche se c'e' una cambio di variabile piu' veloce di quelli che ho usato io.

$ f(x) = \int \int P(x_1)P(x_2)\delta(x-x_1-x_2)dx_1dx_2 $

e il cambio di variabile e' $w = x-x_1-x_2$

$ f(x) = \int \int P(x_1)P(x-x_1-w)\delta(w)\ dx_1\ dw $

Poi la $\delta$ sparisce, come ho fatto nel primo post

$ f(x) = \int P(x_1)P(x-x_1)\ dx_1 $

e ci si ritrova con la convoluzione "classica". Qui si potrebbe chiudere l'esercizio, ma hai fatto bene a tentare con Fourier come esercizio sulle trasformate.

Considero la continuazione banale nei complessi: $\int_{\-infty}^{\infty}e^{ikz} / (i^2(z-i)^2) dz$.
La $f(z)$ ha un polo doppio in $z = i$. Considero, per $k>0$ , un cammino $\Gamma$, che è una semicirconferenza nel semipiano $Im{z} > 0$ e ciò mi permette di utilizzare il lemma di Jordan. Ottengo infine, per $k>0$ il seguente risultato:
$\int_{\Gamma}f(z)dz = 2\pi i Res(f,z = i) = 2\pi i (-ix) / e^{\alpha}$
Tale integrale si riduce proprio all'integrale su $\RR$ siccome il contributo lungo la parte superiore della semicirconferenza è nullo prendendo il limite per $R \to \infty$. Abbiamo quindi:
$1 / (2\pi) I = 1 / (2\pi) 2\pi x e^{-x}, x > 0$
Dunque infine si ha:
$f(x) = \{ ( 0, x < 0), (xe^{-x} , x> 0 ):} = xe^{-x} H(x)$
Molti passaggi non sono per nulla certi sarò sincero, e avrò fatto una marea di errori però spero che la sostanza, almeno quella, abbia una qualche parvenza di una soluzione quantomeno accettabile. Non credo di avere gli strumenti matematici per giustificare qualsiasi passaggio, tipo quel restringersi $k>0$ per usare il lemma di Jordan. Forse si poteva prendere lo stesso cammino nel semipiano inferiore per $k<0$ ma il teorema dei residui mi darebbe poi che l'integrale è nullo.
Ho mandato il conto anche al mio professore, in caso vi dirò se la soluzione da me proposta sia quantomeno accettabile. Speriamo bene

Qui hai fatto dei giochi di prestigio un po' troppo spinti, nel senso che $f(x)= 0$ per $x < 0$ salta fuori dal nulla senza una giustificazione.

Ripartiamo da qui

$\int_{\-infty}^{\infty}e^{ikz} / (i^2(z-i)^2) dz$

Come hai detto giustamente, il semicerchio del percorso di integrazione deve andare a zero per $|z| -> \infty$.

Il denominatore $|(z-i)^2| -> \infty$ sempre per $|z| -> \infty$ e questo e' ok.

Il problema e' il numeratore $e^(ixz)$ che va discusso meglio.

Con $z = a+ib$ scriviamo $|e^(ixz)| = |e^(ixa) e^(-xb)| = |e^(ixa)| | e^(-xb)| = e^(-xb)$

in quanto $|e^(ixa)| = 1$. E' solo una rotazione di angolo.

Quello che vogliamo e' che $ e^(-xb) -> 0$.

Se $x > 0$ il semicerchio deve essere nel semipiano superiore ($b> 0$), perche' altrimenti $ e^(-xb)$ esploderebbe.

Col semicerchio nel semipiano superiore il residuo e' quello che hai calcolato ed e' $\ne 0$.

Ma se $x<0$, il semicerchio va preso nel semipiano inferiore, e allora il residuo e' $0$.

Ecco il motivo per cui se $x<0$ la $f(x) = 0$.

[SteezyMenchi]

Ti ringrazio Quinzio. Si purtroppo mi sono un po’ perso nei conti e ho fatto qualche errore.