Riporto di nuovo, siccome mi servono di nuovo:
supponiamo di avere due variabili indipendenti $P_x(x),P_y(y)$. Definisco $z = x-y$ e abbiamo che
$P_z(z) = \int P_x(z-y)P_y(y)dy = \int \int P_x(x)P_y(y)\delta(z-x-y) [1]$.
Adesso riporto l'esercizio:
Trovare la $f(x) t.c. f(x) \to 0$ per $ |x| \to \infty$ e che soddisfa l'equazione (gli estremi di integrazione sono sempre $\pm \infty$):
$\int \int \int f(y)g_1(z)g_1(t)\delta(x-y-z-t)dydzdt = g_2(x)$ ove
$g_1(x) = e^{-\frac{(x-m)^2}{2\alpha^2}} / (\sqrt(2\pi\alpha^2)), g_2(x) = e^{-\frac{x^2}{\sqrt(2\pi)}}, \alpha <= 1 /2$
Adesso io non voglio cercare di parlare di metafisica, però mi vedo costretto. E vi informo anche la questa mia "soluzione" è stata ispirata dalla soluzione per la $f$ che ho sbirciato perché stavo per aver un breakdown mentale
:allora, se supponiamo che la $[1]$ (mera supposizione, però credo sia fattibile) sia generalizzabile a $N$ variabili indipendenti, potrei arrivare a qualcosa del genere:
Definisco:
$$z = x-\sum_{n = 1}^{N}x_n$$
$P_z(z) = \int ... \int P_{x_1}(x_1)...P_{x_N}(x_N)\delta(x-\sum_nx_n)dx_1...dx_n = \int P(z-x_N)P_{x_N}(x_N)dx_N$
Adesso, dopo questi calcoli campati in aria, ci restringiamo al caso $N = 3, x_1 = z, x_2 = t, x_3 = y$.
notiamo innanzitutto che ignoriamo per un attimo la $y$, ovvero da adesso in poi $x-y$ diventerà una sorta di unica variabile e guardiamo quell'integrale triplo, riconosciamo la stessa struttura della $[1]$ ove le due funzioni sono $g_1(z), g_1(t)$, ovvero la stessa funzione come nell'esercizio del messaggio precedente. Vediamo dunque la stessa struttura della convoluzione dello scorso esercizio, ove in questo caso si tratta della convoluzione $g_1 \ast g_1$. Dunque ritornando al nostro vecchio integrale otteniamo (sperando che in qualche modo ci siamo liberati degli integrali in $dz,dt$, non saprei come farlo, l'unico modo sarebbe riportarsi ad una singola variabile con un cambio di variabile e sfruttare
) avremmo un espressione del tipo $\int \int f(y)\mathcal{G}(x-y)dy$ ove si ha:A questo punto guardiamo la $\delta$ di Dirac. Ha valore diverso da zero solo per $y_3=0$, quindi vuol dire che in pratica un integrale "scompare" e la $y_3$ viene sostituita dal valore zero
$$\mathcal{G}(x-y)= \frac{1}{\sqrt{2\pi 2\alpha^2}} e^{-\frac{(x-y-2m)^2}{2 \cdot2\alpha^2} }$$
Ovviamente ho provato a fare il calcolo esplicito con le trasformate:
$\mathcal{F}{g_1 \ast g_1} = \sqrt(2\pi) \mathcal{F}{g_1}(k)\mathcal{F}{g_1}(k) $
ma ho fallito miseramente putroppo e ho quindi sfruttato il fatto che la convoluzione di una gaussiana è ancora una gaussiana con...ecc ecc. (guardare uno dei miei recenti messaggi dove uso questa proprietà)
Adesso quella lì è la convoluzione di $f \ast \mathcal{G}$, ove $\mathcal{G}$ è una gaussiana $\mathcal{N}(\mu = 2m, \sigma = \sqrt(2\alpha^2))$ che sappiamo deve essere uguale ad una gaussiana $\mathcal{N}(\mu = 0, \sigma = 1)$. Dunque per ottenere una gaussiana ci serve che la $f$ sia una gaussiana con i seguenti parametri $\mathcal{N}_{f}(\mu = 0 - 2m, \sigma^2 = 1 -2alpha^2)$, ovvero:
$ f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi (1-2\alpha^2)}} e^{-\frac{(x+2m)^2}{2(1-2\alpha^2) } $
la quale soddisfa la condizione di annullarsi dopo un tempo infinitamente lungo. Questo vale tuttavia soltanto se $\alpha < 0.5$, infatti se $\alpha = 1/ 2$ allora rifacendo gli stessi ragionamenti otteniamo che la $f$ deve essere una gaussiana con $\mu = -2m, \sigma^2 = 0$. Tuttavia non credo che una tale funzione esista, o se dovessi in qualche modo crearla io, non penso di avere la più pallida idea di come intuirne la forma.
Adesso se qualcuno vuole provare a postare la sua soluzione mi farebbe un gran favore, e magari se volesse dare un'occhiata alla mia mi farebbe un favore ancora più grande
