Integrale con delta di Dirac

[GGno396]

Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere un esercizio con la delta di Dirac.
Il problema chiede di calcolare la densità degli stati $G(epsilon)$ data una certa Hamiltoniana bidimensionale $H(\vec{q},\vec{p})=\frac{|\vec{p}|^2}{2m}+V(|\vec{q}|)$ dove $V(|\vec{q}|)=V_0$ per $|\vec{q}|\leq R$ e $V(|\vec{q}|)=\frac{V_0|\vec{q}|^2}{R^2}$ per $|\vec{q}|> R$. $V_0$,$m$ e $R$ sono tutte costanti strettamente positive.
La $G(epsilon)$ si calcola come $G(epsilon) = \int \frac{d\vec{q}d\vec{p}}{h^2}delta(H(\vec{q},\vec{p})-epsilon)$. Ora, dato che il problema è a simmetria circolare, ho effettuato un cambio di coordinate sia per quanto riguarda la variabile $p$ che la $q$ e mi sono messo in coordinate polari:
$G(epsilon)=\frac{4pi^2}{h^2}\int_0^\infty q dq\int_0^\infty p dpdelta(\frac{p^2}{2m}-(epsilon-V(q)))$
A questo punto ho effettuato un cambio di variabili e ho posto $x=\frac{p^2}{2m}\Rightarrow mdx=pdp$ per cui:
$G(epsilon)=\frac{4pi^2m}{h^2}\int_0^\infty q theta(epsilon-V(q)) dq$
Ho poi spezzato l'integrale a seconda del valore di $V(q)$ e ho integrato i due pezzi separatamente:
$G(epsilon)=\frac{4pi^2m}{h^2}[\int_0^R q theta(epsilon-V_0)dq + \int_R^\infty q theta(epsilon-\frac{V_0q^2}{R^2}) dq]$
per cui:
$G(epsilon)=\frac{4pi^2m}{h^2}[\frac{R^2}{2} theta(epsilon-V_0) + \int_R^{R(\frac{epsilon}{V_0})^{\frac{1}{2}}} q theta(epsilon) dq]$
Dove al secondo integrale ho posto come limite superiore $R(\frac{epsilon}{V_0})^{\frac{1}{2}}$ sfruttando le proprietà della theta di Heaviside.
Come risultato finale ho quindi ottenuto:
$G(epsilon)=\frac{2pi^2mR^2}{h^2}[theta(epsilon-V_0) + (\frac{epsilon}{V_0}-1)theta(epsilon)]$
Questo risultato però differisce dalla risposta giusta che è $G(epsilon)=\frac{2pi^2mR^2}{h^2}\frac{epsilon}{V_0}theta(epsilon-V_0)$ ma non riesco a capire dove possa aver sbagliato.
Grazie a chi potrà darmi un aiuto a capire.

[Quinzio]

Forse c'e' un po di confusione o sono io che non capisco:

$\vec p, \vec q $ a volte sono indicati come dei vettori, poi a volte col modulo, poi sono delle semplici lettere.

Come vanno interpretati ?

$R$ sarebbe il raggio ? E' una costante ?

[GGno396]

Allora provo a chiarire alcuni dubbi:

• $V_0$ ,$m$ e $R$ sono tutte costanti strettamente positive. $V_0$ può essere interpretato come un potenziale e ha le dimensioni di un'energia, $m$ come una massa e $R$ come una distanza fissata.
• $\vec{p}$ e $\vec{q}$ sono due vettori, $\vec{p}$ rappresenta il vettore impulso (per cui $\frac{|\vec{p}|^2}{2m}$ ha le dimensioni di un'energia) e può essere scomposto nelle coordinate $p_x$ e $p_y$, mentre $\vec{q}$ rappresenta la quantità di moto (che ha le dimensioni di una distanza) e anch'essa può essere scomposta in $q_x$ e $q_y$. Per cui quando scrivo $|\vec{p}|$ intendo $\sqrt{p_x^2+p_y^2}$, stessa cosa vale per $|\vec{q}|$; mentre con $d\vec{p}$ intendo $dp_xdp_y$ e con $d\vec{q}$ intendo $dq_xdq_y$.
• Quando infine da $p$ e $q$ scompare il simbolo di vettore è perché, in coordinate polari, ottengo:
  ${ ( p_x=pcos(theta) ),( p_y=p\sin(theta) ):}$
Stessa cosa dicasi per $q$.

[pilloeffe]

Ciao GGno395,

Partiamo da qui:

$G(epsilon)=\frac{4pi^2m}{h^2}\int_0^{+\infty} q \theta(\epsilon-V(q)) dq $

Per definizione la funzione $\theta $ di Heaviside vale $1$ se $\epsilon - V(q) > 0 $, vale $0$ altrove, sicché quell'integrale è nullo ovunque tranne che per $V(q) < \epsilon $

Spezzando l'integrale si ha:

$G(epsilon)=\frac{4pi^2m}{h^2}[\int_0^R q \theta(\epsilon-V(q)) dq + \int_R^{+\infty} q \theta(\epsilon-V(q)) dq] = $
$ = \frac{4pi^2m}{h^2}[\int_0^R q \theta(\epsilon-V(q)) dq + \int_R^{+\infty} q \theta(\epsilon-V(q)) dq] = \frac{4pi^2m}{h^2}[\int_0^R q \theta(\epsilon-V_0) dq + \int_R^{R \sqrt{\epsilon/V_0}} q \theta(\epsilon-V(q)) dq] = $
$ = \frac{4pi^2m}{h^2}[\int_0^R q \theta(\epsilon-V_0) dq + \int_R^{R \sqrt{\epsilon/V_0}} q \theta(\epsilon-V_0 q^2/R^2) dq] $

Ora nel primo integrale $\theta(\epsilon-V_0) $ sembra non dipendere da $q$, quindi ci sta che sia portato fuori dall'integrale, ma nel secondo $\theta(\epsilon - (V_0 q^2)/R^2) $ vale $1$ per $ q < R \sqrt{\epsilon/V_0} $ per cui non capisco quel $\theta(\epsilon) $ che hai scritto. Il secondo integrale per me diventa semplicemente il seguente:

$ \int_R^{R \sqrt{\epsilon/V_0}} q dq = [q^2/2]_R^{R \sqrt{\epsilon/V_0}} = R^2/2 (\epsilon/V_0) - R^2/2 = R^2/(2V_0) (\epsilon - V_0)$

Quindi in definitiva salvo errori si ottiene:

$G(\epsilon) = \frac{2pi^2m R^2}{h^2} \epsilon/V_0[V_0/\epsilon \theta(\epsilon - V_0) + 1 - V_0/\epsilon] $

Quindi se $\epsilon > V_0 $ allora $\theta(\epsilon - V_0) = 1 $ e risulta $G(\epsilon) = \frac{2pi^2m R^2}{h^2} \epsilon/V_0 $

[Quinzio]

Onestamente faccio una gran fatica a capire l'impostazione di questo problema.
Nella soluzione di pilloeffe, il vettore $\vec p$ scompare nel nulla, ma che fine fa ?
Anche nella soluzione di GGno il vettore $\vec p$ scompare dopo un cambio di variabile, passando per $x$, poi anche $x$ scompare nel nulla.

Ma l'integrale originale e' $\RR^2 ->\RR$ oppure $\RR^4 ->\RR$ ?

Anche la $\delta$ di Dirac scompare senza troppe spiegazioni.

Forse conoscendo il contesto fisico da cui nasce questo integrale diventa tutto chiaro, non saprei.

[pilloeffe]

Stavo osservando che il risultato che

Quindi in definitiva salvo errori si ottiene:

$ G(\epsilon) = \frac{2pi^2m R^2}{h^2} \epsilon/V_0[V_0/\epsilon \theta(\epsilon - V_0) + 1 - V_0/\epsilon] $

vale solo se $\epsilon > V(q) = V_0$, altrimenti si ha $G(\epsilon) = 0$, sicché in effetti il risultato finale si può scrivere nella forma seguente:

$ G(epsilon)=\frac{2pi^2mR^2}{h^2}\frac{\epsilon}{V_0}theta(\epsilon-V_0) = {(\frac{2pi^2m R^2}{h^2} \epsilon/V_0 \text{ se } \epsilon > V_0),(0 \text{ se } \epsilon < V_0):} $

[GGno396]

Stavo osservando che il risultato che

Quindi in definitiva salvo errori si ottiene:

$ G(\epsilon) = \frac{2pi^2m R^2}{h^2} \epsilon/V_0[V_0/\epsilon \theta(\epsilon - V_0) + 1 - V_0/\epsilon] $

vale solo se $\epsilon > V(q) = V_0$, altrimenti si ha $G(\epsilon) = 0$, sicché in effetti il risultato finale si può scrivere nella forma seguente:

$ G(epsilon)=\frac{2pi^2mR^2}{h^2}\frac{\epsilon}{V_0}theta(\epsilon-V_0) = {(\frac{2pi^2m R^2}{h^2} \epsilon/V_0 \text{ se } \epsilon > V_0),(0 \text{ se } \epsilon < V_0):} $

Ciao pilo, scusa per il ritardo nella risposta, ora mi è tutto chiaro grazie. All'inizio avevo lasciato quella $\theta(\epsilon)$ perché pensavo che comunque bisognasse imporre $\epsilon >0$, invece non ce n'era bisogno.

[GGno396]

Onestamente faccio una gran fatica a capire l'impostazione di questo problema.
Nella soluzione di pilloeffe, il vettore $\vec p$ scompare nel nulla, ma che fine fa ?
Anche nella soluzione di GGno il vettore $\vec p$ scompare dopo un cambio di variabile, passando per $x$, poi anche $x$ scompare nel nulla.

Ma l'integrale originale e' $\RR^2 ->\RR$ oppure $\RR^4 ->\RR$ ?

Anche la $\delta$ di Dirac scompare senza troppe spiegazioni.

Forse conoscendo il contesto fisico da cui nasce questo integrale diventa tutto chiaro, non saprei.

Ciao Quinzio guarda provo a spiegarti i passaggi fatti così magari se qualcun altro ha dei dubbi li può chiarire.
La $ G(epsilon) $ si calcola come:
$ G(epsilon) = \int \frac{d\vec{q}d\vec{p}}{h^2}delta(H(\vec{q},\vec{p})-epsilon) = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty \frac{dq_xdq_ydp_xdp_y}{h^2}delta(\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+V(q_x,q_y)-epsilon)$
L'integrale perciò è una funzione $\RR^4 ->\RR$. Ora, dato che il problema è a simmetria circolare, si effettua un cambio di coordinate passando dalle cartesiane alle polari:
$ { ( q_x=q cos(phi) ),( q_y=q sin(phi) ):} $ $ { ( p_x=p cos(theta) ),( p_y=p sin(theta) ):} $
per cui:
$ G(epsilon) = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^\infty qdq\int_0^\infty \frac{pdp}{h^2}delta(\frac{p^2}{2m}+V(q)-epsilon)$
Dato che non c'è nulla che dipenda da $theta$ e $phi$ possiamo integrare tranquillamente in queste due variabili ed esse ci restituiscono un contributo di $4pi^2$:
$ G(epsilon)=\frac{4pi^2}{h^2}\int_0^\infty q dq\int_0^\infty p dpdelta(\frac{p^2}{2m}-(epsilon-V(q))) $
A questo punto effettuiamo un cambio di variabili ponendo $ x=\frac{p^2}{2m}\Rightarrow mdx=pdp $ per cui:
$ G(epsilon)=\frac{4pi^2m}{h^2}\int_0^\infty qdq \int_0^\infty delta(x-(epsilon-V(q))) dx $
Dato che la $delta$ di Dirac è la derivata della funzione $theta$ di Heaviside possiamo scrivere:
$ G(epsilon)=\frac{4pi^2m}{h^2}\int_0^\infty qdq \int_0^\infty \frac{d}{dx}[theta(epsilon-V(q))] dx=\frac{4pi^2m}{h^2}\int_0^\infty qtheta(epsilon-V(q))dq$
Da qui in poi i passaggi fatti da piloeffe mi sembrano chiari. Spero di aver chiarito i tuoi dubbi.

[Noodles]

Veramente, non si comprende il motivo per cui scomodare la teoria delle distribuzioni quando non è assolutamente necessario. Infatti, dopo aver determinato, nello spazio delle fasi, la misura del volume sottostante:

$H(q_x,q_y,p_x,p_y) lt= E$

scomponendolo in due:

Primo volume

$[q_x^2+q_y^2 lt= R^2] ^^ [p_x^2/(2m)+p_y^2/(2m)+V_0 lt= E] rarr [q^2 lt= R^2] ^^ [p^2/(2m)+V_0 lt= E]$

Secondo volume

$[q_x^2+q_y^2 gt= R^2] ^^ [p_x^2/(2m)+p_y^2/(2m)+V_0/R^2(q_x^2+q_y^2) lt= E] rarr [q^2 gt= R^2] ^^ [p^2/(2m)+V_0/R^2q^2 lt= E]$

Volume

$\Gamma(E)=(4\pi^2)/h^2\int_{0}^{sqrt(2m(E-V_0))}pdp\int_{0}^{sqrt(R^2/V_0(E-p^2/(2m)))}qdq=(2\pi^2R^2)/(h^2V_0)\int_{0}^{sqrt(2m(E-V_0))}p(E-p^2/(2m))dp=$

$=(2\pi^2R^2)/(h^2V_0)[mE(E-V_0)-1/2m(E-V_0)^2]=(\pi^2mR^2)/(h^2V_0)(E^2-V_0^2)$

è sufficiente derivare:

$g(E)=(d\Gamma(E))/(dE)=(2\pi^2mR^2)/(h^2V_0)E$

Infine, poiché, necessariamente:

$E gt= V_0$

volendo sintetizzare:

$g(E)=(2\pi^2mR^2)/(h^2V_0)E*\theta(E-V_0)$

Un altro modo per evitare "i giochi di prestigio" associati alla teoria delle distribuzioni è determinare, nello spazio delle fasi, la misura della superficie sottostante:

$H(q_x,q_y,p_x,p_y) = E$

[Quinzio]

Veramente, non si comprende il motivo per cui scomodare la teoria delle distribuzioni quando non è assolutamente necessario. Infatti, dopo aver determinato, nello spazio delle fasi, la misura del volume sottostante:

$H(q_x,q_y,p_x,p_y) lt= E$

scomponendolo in due:

Primo volume

$[q_x^2+q_y^2 lt= R^2] ^^ [p_x^2/(2m)+p_y^2/(2m)+V_0 lt= E] rarr [q^2 lt= R^2] ^^ [p^2/(2m)+V_0 lt= E]$

Secondo volume

$[q_x^2+q_y^2 gt= R^2] ^^ [p_x^2/(2m)+p_y^2/(2m)+V_0/R^2(q_x^2+q_y^2) lt= E] rarr [q^2 gt= R^2] ^^ [p^2/(2m)+V_0/R^2q^2 lt= E]$

Volume

$\Gamma(E)=(4\pi^2)/h^2\int_{0}^{sqrt(2m(E-V_0))}pdp\int_{0}^{sqrt(R^2/V_0(E-p^2/(2m)))}qdq=(2\pi^2R^2)/(h^2V_0)\int_{0}^{sqrt(2m(E-V_0))}p(E-p^2/(2m))dp=$

$=(2\pi^2R^2)/(h^2V_0)[mE(E-V_0)-1/2m(E-V_0)^2]=(\pi^2mR^2)/(h^2V_0)(E^2-V_0^2)$

Ecco, e' proprio qui che io non capisco piu' perche' andate tutti avanti come se fosse un altro integrale "circolare".
Poi, se il risultato del libro vi da ragione, saro' io che perdo qualche pezzo per strada, o forse nel constesto fisico dell'applicazione, il risultato e' corretto. Boh.
Anche io sono per spezzare l'integrale in $q^2 < R^2$ e $q^2 > R^2$ ma poi
l'integrale del volume io lo imposterei cosi':

$\int_(q=0)^{R} int_{p=0}^{\sqrt(2m (E-V_0))} p\ dp\ q\ dq + \int_(q=R)^{\sqrt(ER^2/V_0)} int_{p=0}^{\sqrt(2m (E-V_0/R^2 q^2))} p\ dp\ q\ dq$.

L'area (o il volume) da integrare e' un ellisse (ellissoide), ma solo dentro una striscia di piano (a causa della disciminazione $q^2 < R^2$).

Poi magari alla fine il risultato e' lo stesso, o sto sbagliando io (ma dove ?).