Integrale con delta di Dirac

[GGno396]

Veramente, non si comprende il motivo per cui scomodare la teoria delle distribuzioni quando non è assolutamente necessario. Infatti, dopo aver determinato, nello spazio delle fasi, la misura del volume sottostante:

$H(q_x,q_y,p_x,p_y) lt= E$

Ciao Noodles, guarda io uso la teoria delle distribuzioni perché banalmente mi hanno insegnato così a calcolare questo tipo di integrali. Effettivamente anche con il tuo ragionamento si arriva alla soluzione corretta, solo che in quel modo trovo più difficile individuare la condizione $ E gt= V_0 $. Cioè tu l'hai imposta perché altrimenti $Gamma(E)=(\pi^2mR^2)/(h^2V_0)(E^2-V_0^2) $ sarebbe risultato $0$ giusto?
In ogni caso, imporre la condizione iniziale $H(q_x,q_y,p_x,p_y) lt= E$ è equivalente a imporre una $delta$ di Dirac o sbaglio?

[GGno396]

Ecco, e' proprio qui che io non capisco piu' perche' andate tutti avanti come se fosse un altro integrale "circolare".
Poi, se il risultato del libro vi da ragione, saro' io che perdo qualche pezzo per strada, o forse nel constesto fisico dell'applicazione, il risultato e' corretto. Boh.
Anche io sono per spezzare l'integrale in $q^2 < R^2$ e $q^2 > R^2$ ma poi
l'integrale del volume io lo imposterei cosi':

$\int_(q=0)^{R} int_{p=0}^{\sqrt(2m (E-V_0))} p\ dp\ q\ dq + \int_(q=R)^{\sqrt(ER^2/V_0)} int_{p=0}^{\sqrt(2m (E-V_0/R^2 q^2))} p\ dp\ q\ dq$.

L'area (o il volume) da integrare e' un ellisse (ellissoide), ma solo dentro una striscia di piano (a causa della disciminazione $q^2 < R^2$).

Poi magari alla fine il risultato e' lo stesso, o sto sbagliando io (ma dove ?).

Ciao Quinzio guarda ho provato a svolgere gli integrali seguendo il tuo ragionamento ma il risultato esce sbagliato. Credo ci sia un problema con gli estremi di integrazione . Comunque io ti avevo dato una risposta con la $delta$ di Dirac, quei passaggi ti hanno chiarito dei dubbi?

[Noodles]

... magari alla fine il risultato è lo stesso ...

Direi proprio di sì:

Mentre tu hai fissato q e integrato prima in p, per semplicità io ho fissato p e integrato prima in q.

[Noodles]

... in quel modo trovo più difficile individuare la condizione $E gt= V_0$ ...

L'energia totale $E$ non può essere minore del minimo $V_0$ dell'energia potenziale.

... imporre la condizione iniziale $H(q_x,q_y,p_x,p_y) lt= E$ è equivalente a imporre una $\delta$ di Dirac ...

Imporre una $\delta$ di Dirac è equivalente ad integrare solo sul suo supporto, la superficie di energia costante:

$H(q_x,q_y,p_x,p_y)=E$

In definitiva, se ne deve determinare la misura mediante un integrale di superficie. Si tratta del secondo procedimento di cui parlavo alla fine del mio primo messaggio.