Stabilità della misura con successioni monotone d’insiemi decrescenti

[andreadel1988]

Sia ${A_n}_{ninNN,n>=1}$ con $A_n$ in una $\sigma$-algebra $AAninNN$ e tali che $A_nsupeA_{n+1}$ e $\mu(A_1)<+infty$ allora $\mu(nn_{n=1}^{+infty}A_n)=lim_(n->infty)\mu(A_n)$.

Ho provato a dimostrarlo così (vorrei sapere se va bene, grazie):
Poniamo $G_n=A_1\\A_n$ con $n>=1$, abbiamo che $nn_{n=1}^{+infty}A_n=A_1\\(uu_{n=1}^{+infty}G_(n+1)\\G_n)$, per cui $\mu(nn_{n=1}^{+infty}A_n)=\mu(A_1\\(uu_{n=1}^{+infty}G_(n+1)\\G_n))=\mu(A_1)-\mu(uu_{n=1}^{+infty}G_(n+1)\\G_n)=\mu(A_1)-\sum_{n=1}^{+infty} \mu(G_(n+1)\\G_n)=\mu(A_1)+\sum_{n=1}^{+infty}\mu(A_(n+1))-\mu(A_n)=\mu(A_1)+lim_(k->infty)\sum_{n=1}^{k}\mu(A_(n+1))-\mu(A_n)=\mu(A_1)+lim_(k->infty)\mu(A_(k+1))-\mu(A_1)=lim_(k->infty)\mu(A_(k+1))$
qui rinomino $n=k+1$ ( $n$ non ha la stessa valenza del $n$ di prima!) per cui diventa $nn_{n=1}^{+infty}A_n=lim_(n->infty)\mu(A_(n))$.

[otta96]

Ma non è che l'inclusione è al contrario? Sennò così non è vero.

[megas_archon]

Se \(A_n\subseteq A_{n+1}\) allora \(\bigcap A_n = A_1\), che è il minimo di tutti; semmai forse volevi dire \(A_n \mathrel{\color{red}\supseteq} A_{n+1}\), che è proprio il significato di "decrescenti" (e tanto più che altrimenti non ha senso definire \(G_n\)).

[megas_archon]

Eh, appunto

[andreadel1988]

Se \(A_n\subseteq A_{n+1}\) allora \(\bigcap A_n = A_1\), che è il minimo di tutti; semmai forse volevi dire \(A_n \mathrel{\color{red}\supseteq} A_{n+1}\), che è proprio il significato di "decrescenti" (e tanto più che altrimenti non ha senso definire \(G_n\)).

Si si ho sbagliato a scrivere scusate

[otta96]

Va bene.

[andreadel1988]

Va bene.

Grazie