Se una funzione è Riemann-integrabile allora il suo grafico ha $L^2$-misura nulla

[andreadel1988]

Sia $f:[a,b]->RR$ una funzione Riemann-integrabile, allora $graf(f)={(x,f(x))|x in[a,b]}$ ha $Lì2$-misura nulla.

Ho fatto così (ditemi se va bene, grazie):
Ci basta mostrare che $AA\epsilon>0$ esiste ${R_i}_{iinNN}$ ricoprimento lebesguiano di $graf(f)$ tale che $\sum_{i=0}^{+infty}L^2(R_i)<\epsilon$.
Per il criterio di Riemann abbiamo che $AAepsilon>0$ $EE\sigma_{\epsilon}in\Omega([a,b])$ tale che $S(f,\sigma_{\epsilon})-s(f,\sigma_{\epsilon})<\epsilon$. Sia $\sigma_{\epsilon}={a=x_0<...<x_n=b}$ abbiamo che $AAx in[x_j,x_(j+1)]$ con $jin{0,...,n}$ si ha che $f(x)in[i nf_{x in[x_j, x_(j+1)]}f(x),su p_{x in[x_j, x_(j+1)]}f(x)]$, ma siccome $[a,b]=uu_{j=0}^{n}[x_j,x_(j+1)]$, allora $AAx in[a,b]$ $EE\bar jin{0,...,n}$ tale che $x in[x_j,x_(j+1)]$ e $f(x)in[i nf_{x in[x_j, x_(j+1)]}f(x),su p_{x in[x_j, x_(j+1)]}f(x)]$, per cui $(x,f(x))in[x_j,x_(j+1)]xx[i nf_{x in[x_j, x_(j+1)]}f(x),su p_{x in[x_j, x_(j+1)]}f(x)]$ e quindi $graf(f)subeuu_{j=0}^{n}[x_j,x_(j+1)]xx[i nf_{x in[x_j, x_(j+1)]}f(x),su p_{x in[x_j, x_(j+1)]}f(x)]$ quindi ${[x_j,x_(j+1)]xx[i nf_{x in[x_j, x_(j+1)]}f(x),su p_{x in[x_j, x_(j+1)]}f(x)]}_{j=0,...,n}$ è un ricoprimento lebesguiano di $graf(f)$ e si ha che $\sum_{j=0}^{n}L^2([x_j,x_(j+1)]xx[i nf_{x in[x_j, x_(j+1)]}f(x),su p_{x in[x_j, x_(j+1)]}f(x)])=\sum_{j=0}^{n}(su p_{x in[x_j, x_(j+1)]}f(x)-i nf_{x in[x_j, x_(j+1)]}f(x))(x_(j+1)-x_j)=S(f,\sigma_{\epsilon})-s(f,\sigma_{\epsilon})<\epsilon$.

[otta96]

Va bene.

[andreadel1988]

Va bene.

Grazie