Mostrare che prese $f,g:[0,1]->RR$ con $f=X_V$ e $g=X_(QQ)$ si ha che $f$ non è misurabile mentre $g$ è misurabile (con $V$ l'insieme di Cantor-Vitali e $X_A={(1,if x inA),(0,if xnotinA):}$ )
Per vedere che $f$ non è misurabile ci basta osservare che $f^-1(1/2,3/2)=V$ ma l'insieme di Cantor-Vitali non è misurabile per cui $f$ non può essere misurabile.
Per mostrare che $g$ misurabile ci basta mostrare che $g^-1[c,+infty]$ è misurabile $AAcin[-infty,+infty]$. Osserviamo che se $c>1$ allora $g^-1[c,+infty]=∅$ che è misurabile, se $0<c<=1$ allora $g^-1[c,+infty]=QQ$ che è misurabile e infine se $c<=0$ allora $g^-1[c,+infty]=[0,1]$ che è misurabile.
Va bene?