Esempio funzione non misurabile e misurabilità della funzione di Dirichlet

[andreadel1988]

Mostrare che prese $f,g:[0,1]->RR$ con $f=X_V$ e $g=X_(QQ)$ si ha che $f$ non è misurabile mentre $g$ è misurabile (con $V$ l'insieme di Cantor-Vitali e $X_A={(1,if x inA),(0,if xnotinA):}$ )

Per vedere che $f$ non è misurabile ci basta osservare che $f^-1(1/2,3/2)=V$ ma l'insieme di Cantor-Vitali non è misurabile per cui $f$ non può essere misurabile.

Per mostrare che $g$ misurabile ci basta mostrare che $g^-1[c,+infty]$ è misurabile $AAcin[-infty,+infty]$. Osserviamo che se $c>1$ allora $g^-1[c,+infty]=∅$ che è misurabile, se $0<c<=1$ allora $g^-1[c,+infty]=QQ$ che è misurabile e infine se $c<=0$ allora $g^-1[c,+infty]=[0,1]$ che è misurabile.

Va bene?

[otta96]

Cosa intendi con l'insieme di Cantor-Vitali?

[andreadel1988]

Cosa intendi con l'insieme di Cantor-Vitali?

$V={v_A|AinRR//QQ}$ con $v_Ain[0,1[$ (per l'assioma della scelta posso scegliere in ogni $AinRR//QQ$ uno e un solo $v_Ain[0,1[$)

[otta96]

Lo avevo sempre visto chiamare solo di Vitali, allora funziona.

[andreadel1988]

Lo avevo sempre visto chiamare solo di Vitali, allora funziona.

Ok, se invece volessi calcolare l'integrale di $g$, ovvero della funzione di Dirichlet, siccome questa è non negativa e a gradini posso usare la formula $\int_{[0,1]}g=L^1(QQ)=0$ giusto?

[otta96]

Si certo.

[andreadel1988]

Si certo.

Grazie