Convergenza dominata delle serie di funzioni

[andreadel1988]

Se $f_n:A->[-infty,+infty]$ sono misurabili e vale $\sum_{n=1}^{+infty}\int_Aabs(f_n(x))d\mu$, allora $\int_A\sum_{n=1}^{+infty}f_n(x)d\mu=\sum_{n=1}^{+infty}\int_Af_n(x)d\mu$.

Io ho fatto così (se è sbagliato ditemi):
Se mostriamo che la successione di funzioni $s_k(x)=\sum_{n=1}^{k}f_n(x)$ verifica le ipotesi del teorema di convergenza dominata di Lebesgue allora vale che $\sum_{n=1}^{+infty}\int_Af_n(x)d\mu=lim_(k->+infty)\sum_{n=1}^{k}\int_Af_n(x)d\mu=lim_(k->+infty)\int_A\sum_{n=1}^{k}f_n(x)d\mu=\int_Alim_(k->+infty)\sum_{n=1}^{k}f_n(x)d\mu=\int_A\sum_{n=1}^{+infty}f_n(x)d\mu$.
Osserviamo che le $s_k(x)$ sono misurabili su $A$ poichè somma di funzioni misurabili su $A$.
Abbiamo che $abs(s_(k)(x))<=\sum_{n=1}^{k}abs(f_n(x))$, abbiamo che $\sum_{n=1}^{k}abs(f_n(x))$ è una successione crescente e quindi converge all'estremo superiore, ovvero $\sum_{n=1}^{k}abs(f_n(x))<=\sum_{n=1}^{+infty}|f_n(x)|$, poi osserviamo che $abs(f_n(x))>=0$ ed è misurabile su $A$ (poiche lo sono le $f_n(x)$) per cui si ha che $\int_A\sum_{n=1}^{+infty}|f_n(x)|d\mu=\sum_{n=1}^{+infty}\int_A|f_n(x)|d\mu<+infty$, per cui $\sum_{n=1}^{+infty}|f_n(x)|$ è un guardiano sommabile (non dipende da $n$) di $s_k(x)$ e quindi sono verificate tutte le ipotesi del teorema di convergenza dominata di Lebesgue.