Stavo riguardando un esercizio che avevo postato un po' di tempo fa. Si trattava di dover calcolare la trasformata di Fourier di $f = H(x)e^{-x}$. Adesso il mio problema è che avevo affrontato il problema forse con poca attenzione: la mia funzione $f(x)$ è tale che:
$ f(x) = \{ (e^{-x}, x > 0),(0, x<0) :}$
Adesso io la trasformata di Fourier la calcolo con la convenzione
$$ \mathcal{F}[f](k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dx$$
Adesso, io ho ingenuamente pensato che l'ultimo integrale può essere spezzato in due nella seguente maniera:
$ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{0} 0dx + \int_{0}^{+\infty} e^{-x}$
Ma questa scrittura è evidentemente sbagliata, al massimo potrei scrivere qualcosa del genere:
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = lim_{\epsilon \to 0+}\left[\int_{-\infty}^{-\epsilon} f(x)dx + \int_{+\epsilon}^{+\infty} f(x)dx \right]$
Tutti i miei dubbi nascono dalla discontinuità a salto in $x = 0$ dovuta alla step function $H(x)$. Non ho idea di come trattare funzioni di questo tipo quando devo calcolare la trasformata. Cioè, mi sono informato un po', e ho scoperto che calcolare la trasformata di fourier della funzione di Heaviside è tutto fuorché semplice. Non ho ben capito come fare sinceramente. Da quanto ho capito, la funzione gradino è piecewise smooth, e fin qui ok, alcuni dicono che la funzione di Heaviside non è in $L^1$ . Non abbiamo fatto teoria della misura, ne tantomeno gli spazi $L^p$ (li abbiamo accennati, ma praticamente il messaggio è stato: il corso non può insegnarvi tutto quanto, andatevi a sentire lezioni di teoria della misura e analisi funzionale quando sarete più grandi ).
Tuttavia ho chiesto al mio professore e mi ha detto questo:
Provi a definire la seguente funzione:
$ f_L(x) = {\ (0, x < 0 ^^ x >L), (1, x \in ]0,L[) :} $
Si fa i calcoli e poi formalmente manda $L$ ad infinito
Tuttavia, non vedo come ciò possa risolvere i miei problemi.
Wolfram alpha, incredibilmente, riesce ad azzeccare tutte le trasformazioni, ma non mi dice come farle purtroppo.
Qualcuno può illuminarmi un pò di più su questo argomento: in particolare, come calcolereste la trasformata della $H(x)$ e della mia $f(x)$ formalmente? C'è un modo di farmi capire cos'hanno di particolare le funzioni in $L^1$ senza tirar fuori teoria della misura? Anche intuitivamente, solo per capire ad un livello superficiale.
Ringrazio chi vorrà provare ad aiutarmi, anche se stavolta la vedo dura