Trasformata di Fourier

[SteezyMenchi]

Stavo riguardando un esercizio che avevo postato un po' di tempo fa. Si trattava di dover calcolare la trasformata di Fourier di $f = H(x)e^{-x}$. Adesso il mio problema è che avevo affrontato il problema forse con poca attenzione: la mia funzione $f(x)$ è tale che:
$ f(x) = \{ (e^{-x}, x > 0),(0, x<0) :}$
Adesso io la trasformata di Fourier la calcolo con la convenzione
$$ \mathcal{F}[f](k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dx$$
Adesso, io ho ingenuamente pensato che l'ultimo integrale può essere spezzato in due nella seguente maniera:
$ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{0} 0dx + \int_{0}^{+\infty} e^{-x}$
Ma questa scrittura è evidentemente sbagliata, al massimo potrei scrivere qualcosa del genere:
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = lim_{\epsilon \to 0+}\left[\int_{-\infty}^{-\epsilon} f(x)dx + \int_{+\epsilon}^{+\infty} f(x)dx \right]$
Tutti i miei dubbi nascono dalla discontinuità a salto in $x = 0$ dovuta alla step function $H(x)$. Non ho idea di come trattare funzioni di questo tipo quando devo calcolare la trasformata. Cioè, mi sono informato un po', e ho scoperto che calcolare la trasformata di fourier della funzione di Heaviside è tutto fuorché semplice. Non ho ben capito come fare sinceramente. Da quanto ho capito, la funzione gradino è piecewise smooth, e fin qui ok, alcuni dicono che la funzione di Heaviside non è in $L^1$ . Non abbiamo fatto teoria della misura, ne tantomeno gli spazi $L^p$ (li abbiamo accennati, ma praticamente il messaggio è stato: il corso non può insegnarvi tutto quanto, andatevi a sentire lezioni di teoria della misura e analisi funzionale quando sarete più grandi ).
Tuttavia ho chiesto al mio professore e mi ha detto questo:
Provi a definire la seguente funzione:
$ f_L(x) = {\ (0, x < 0 ^^ x >L), (1, x \in ]0,L[) :} $
Si fa i calcoli e poi formalmente manda $L$ ad infinito
Tuttavia, non vedo come ciò possa risolvere i miei problemi.
Wolfram alpha, incredibilmente, riesce ad azzeccare tutte le trasformazioni, ma non mi dice come farle purtroppo.
Qualcuno può illuminarmi un pò di più su questo argomento: in particolare, come calcolereste la trasformata della $H(x)$ e della mia $f(x)$ formalmente? C'è un modo di farmi capire cos'hanno di particolare le funzioni in $L^1$ senza tirar fuori teoria della misura? Anche intuitivamente, solo per capire ad un livello superficiale.
Ringrazio chi vorrà provare ad aiutarmi, anche se stavolta la vedo dura

[Quinzio]

Adesso, io ho ingenuamente pensato che l'ultimo integrale può essere spezzato in due nella seguente maniera:
$ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dx = \int_{-\infty}^{0} 0dx + \int_{0}^{+\infty} e^{-x}$

Che fine fa $e^{-ikx}$ nell'ultimo integrale ?

Ma questa scrittura è evidentemente sbagliata, al massimo potrei scrivere qualcosa del genere:
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dx = lim_{\epsilon \to 0+}\left[\int_{-\infty}^{-\epsilon} f(x)dx + \int_{+\epsilon}^{+\infty} f(x)dx \right]$

Perche' e' 'evidentemente' sbagliata ?

Io sapevo che

\[\int_{-\infty}^{+\infty} H(x) e^{-x} e^{-ikx}dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-(ik+1)x}dx = \frac{e^{-(ik+1)x}}{-(ik+1)} \Bigg\vert _{0}^{+\infty} = \frac{1}{ik+1} \]

[pilloeffe]

Ciao SteezyMenchi,

Formalmente la trasformata di Fourier della funzione di Heaviside è una distribuzione.
Con la tua definizione di trasformata di Fourier si ha:

$H(k) = 1/\sqrt{2\pi} \lim_{L \to +\infty} \int_{- L}^L e^{- i k x} H(x) \text{d}x = 1/\sqrt{2\pi} [\pi \delta(k) - i PV(1/k)] = \sqrt{\pi/2} \delta(k) - i/\sqrt{2\pi} PV(1/k) $

ove $PV(1/k) $ è la distribuzione che assume una funzione di test $\varphi $ nel valore principale di Cauchy (Cauchy Principal Value, $PV$) $\int_{-\infty}^{+\infty} (\varphi(k))/k \text{d}k $. Anche il limite che appare nell'integrale è inteso nel senso delle distribuzioni (temperate).
Tuttavia, nel caso in esame non c'è bisogno di ricorrere alle distribuzioni ed il tutto "funziona" anche senza:

$f(x) := {(e^{- ax} \text{ per } x > 0),(0 \text{ per } x < 0):} $

Il tuo ovviamente è il caso particolare in cui $a = 1 \implies \text{Re}(a) = 1 > 0 $

$ \mathcal{F}[f](k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i k x} \text{d}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{+\infty}e^{- ax} e^{-i k x} \text{d}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{+\infty}e^{- ax} e^{-i k x} \text{d}x = $
$ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{+\infty}e^{- (a + ik)x} \text{d}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}[\frac{e^{- (a + ik)x}}{- (a + ik)}]_0^{+\infty} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}(a + ik)}$

infatti si ha $\lim_{x \to +\infty} e^{- (a + ik)x} = 0 $, dato che $|e^{- (a + ik)x}| = e^{- x \text{Re}(a)} $ e $\text{Re}(a) > 0 $.
Puoi verificare la correttezza del risultato ottenuto anche qui.

[SteezyMenchi]

Scusa Quinzio, avevo copiato e incollato e mi si era aggiunto quell'esponenziale. Adesso è tutto corretto. Grazie per avermelo fatto notare

[SteezyMenchi]

Si Pillo però così hai ignorato uno dei problemi secondo me ancora presenti: è veramente corretto usare come estremo sinistro di integrazione lo zero, nonostante la funzione lì presenti la discontinuità, come fai a dire che la funzione in $x = 0$ assume la forma $e^{ax}$. Se mi dici che ciò è fattibile, senza alcuna precauzione allora i tuoi risultati mi convincono

P.S. La parte in cui hai calcolato $H(k)$ non mi è chiara, ma questo perché non abbiamo mai affrontato le distribuzioni, né tantomeno le distribuzioni temperate perciò forse è meglio che non mi addentri troppo, senza aver prima delle conoscenze più solide in materia (ho visto qualcosa su stack e in particolare questo link
https://math.stackexchange.com/questions/269809/heaviside-step-function-fourier-transform-and-principal-values mi da un'idea di quanto questo non sia un argomento facile e riducibile ad un thread del forum. Ringrazio comunque Pillo per aver dato una risposta in maniera formale.

[pilloeffe]

come fai a dire che la funzione in $x=0$ assume la forma $e^{- ax}$.

In realtà cosa accade in $x = 0 $ è irrilevante, essendo un insieme di misura nulla.
Avrei potuto indifferentemente definire

$f(x) := {(e^{- ax} \text{ per } x \ge 0),(0 \text{ per } x < 0):} $

ovvero

$f(x) := {(e^{- ax} \text{ per } x > 0),(0 \text{ per } x \le 0):} $

che il calcolo dell'integrale non sarebbe cambiato.

[SteezyMenchi]

Perfetto, grazie mille per la conferma Pillo