Sia $f:A->RR$ una funzione $f(x_1,...,x_n)$ dispari in $x_i$ per un certo $iin{0,...,n}$ e sia $A$ invariante per cambi di segno di $x_i$, dimostrare che $\int_Af(x_1,...,x_n)dL^n=0$
$\int_Af(x_1,...,x_n)dL^n=\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n+\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|-x_i>0}}f(x_1,...,x_n)dL^n=\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n-\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|-x_i>0}}-f(x_1,...,x_n)dL^n=\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n-\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|-x_i>0}}f(x_1,...,-x_i,...,x_n)dL^n$
Ora nel secondo integrale siccome $A$ è invariante per segni rispetto a $x_i$ per cui $x_i=-x_i$ (non so se si è capita bene la sostituzione che ho fatto) per cui viene:
$\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n-\int_{Ann{(x_1,...,x_n)inRR^n|x_i>=0}}f(x_1,...,x_n)dL^n=0$
Ditemi se può andar bene, grazie.