proprietà di Lebesgue - insiemi limitati

[johnnydsg]

Salve. Cerco la dimostrazione del seguente teorema

Teorema

Sia $A sub R^n$ limitato. Per ogni $\epsilon > 0$ esiste una famiglia di bocce $B_1, B_2, …, B_m$ di raggio $< \epsilon$, centrate in punti di $A$ e che ricopre $A$, cioè $A sub uuu_{k=1}^m B_k$.

[Wilde]

Direi che è scontato... Puoi tranquillamente provare a svolgere la dimostrazione tu.
Forse è meglio evitare di scriverla in modo troppo formale perchè può diventare noiosa o farlo nel caso $R^2$.
Ricordati che se $A$ è limitato allora sarà contenuto in un "palla" o un "ipercubo" (quello che preferisci).

[johnnydsg]

Scusatemi, mi sono sicuramente spiegato male. Io ho già una dimostrazione, ma volevo confrontarla con un’altra, preferibilmente presa da un libro di testo o appunti .pdf

[johnnydsg]

Cominciamo col dimostrare l’affermazione nel caso che $A = [a,b]$ sia un intervallo di $RR^1$. Se $m>0$ è un intero, consideriamo i punti $x_k = a + k (b - a)/m$ per $0 <= k <= m$. E’ chiaro che $[a, b] = uuu_{k=1}^m [x_{k-1},x_k]$ e la lunghezza $(b-a)/m$ di ciascun intervallo $B_k = [x_{k-1}, x_k]$ è $< 2 \epsilon$ se $m$ è sufficientemente grande, onde il risultato.

Sia ora $A = [a_1, b_1]\times … \times [a_n, b_n]$ un rettangolo $n$-dimensionale in $RR^n$. Si può considerare un ricoprimento di ciascun intervallo $[a_j, b_j]$ con $1 <= j <= n$ mediante intervalli di lunghezza $ < {2 \epsilon} / \sqrt(n)$ contenenti l’intervallo $[a_j, b_j]$ e sotto queste condizioni $A$ è ovviamente ricoperto da un numero finito $A_1, A_2, … , A_m$ di prodotti cartesiani di tali intervalli.

E’ allora chiaro che esiste un numero finito di bocce $B_1, B_2, … , B_m$ con $B_k sup A_k$ per $k = 1, …, m$ e raggio

$\rho’ < \sqrt{(\epsilon/\sqrt(n))^2 + … + (\epsilon/\sqrt(n))^2} = \sqrt{n (\epsilon^2 /n)} = \epsilon$

che ricopre $A$.

Se infine $A$ è un insieme limitato qualunque, allora $A$ è contenuto in un rettangolo $n$-dimensionale $Q \sub RR^n$, dove abbiamo posto $Q = [a_1, b_1] \times …. \times [a_n, b_n]$, e quest’ultimo può essere ricoperto da un numero finito di bocce $B_\rho (y)$ i cui centri $y in Q$. Di queste bocce consideriamo solo quelle che intersecano $A$ e per ciascuna di queste scegliamo un punto $x in A nn B_\rho (y)$. E’ chiaro che $B_\rho (y) sub B_\epsilon (x)$ (con $\epsilon = 2 \rho$) e le bocce $B_\epsilon (x)$ sono centrate in punti di $A$ e formano il ricoprimento richiesto.

[johnnydsg]

E’ ok, questa dimostrazione?

[otta96]

Si.