Teorema di Kakutani ed equilibri di Nash

[otta96]

Se ritenete più opportuna un'altra sezione spostate pure.
Comunque stavo leggendo questo PDF per capire cosa c'entrava la versione del teorema di punto fisso di Kakutani che avevo trovato sul Rudin tempo fa con quella che si può trovare su Wikipedia (ma praticamente dappertutto si trova quella). Non capisco come mai la versione del Rudin (o simile, ci sono delle varianti) non si trovi tipo su Wikipedia dato che è più generale di quella che si trova, inoltre non viene nemmeno usata la versione più diffusa per dimostrare il teorema (almeno in quel PDF). Qualcuno sa spiegare questa cosa?
Poi tra le applicazioni c'era anche il teorema di Nash, che mi interessava quindi mi sono letto quella parte (pag 57) ma, dopo la trattazione generale, a pagina 58 studia il caso di un gioco a 2 giocatori e introduce solamente lì la strategie miste. Questo cosa vuol dire, che in più giocatori non c'è bisogno di ricorere alle strategie miste per avere degli equilibri di Nash? Mi sembra alquanto strano.

[otta96]

Ci vorrebbe Fioravante, ho notato che spesso quando lo si invoca si fa vivo, quindi ci provo

[gabriella127]

Guarda otta, io non sono certo esperta di teoria dei giochi, ti dico ora quello che ricordo, spero di non confonderti di più le idee.
Questo teorema di Kakutani viene usato in varie cose dagli economisti matematici, dall'equilibrio di Nash all'esistenza degli equilibri concorrenziali walrasiani.
In genere viene usato nella versione per le corrispondenze, che non mi sembra quella del PDF, che parla di una funzione a valori in $mathbb{R}$.

Il riferimento consueto è Berge, Topological Spaces, che si occupa della continuità delle corrispondenze tra spazi topologici.

Poi ci sta in vari libri, se si guarda quella che è considerata una delle Bibbie della microeconomia, Mas Colell, Microeonomic Theory, lo usa per l'equlibrio di Nash, senza strategie miste. Sta a pag. 260. Usa il teorema per le corrispondenze, lo mette in appendice.

Non ho guardato il PDF e non ho il tempo di guardare altri libri, per vedere varianti, ma domani se ce la faccio ti copio la versione di Mas Colell e il teorema sull'esistenza degli equilibri di Nash in cui usa Kakutani.

[gabriella127]

Questa è la danza di invocazione di Fioravante Patrone, vediamo se funziona.

[Mephlip]

Sosteniamo tutti otta con la danza di evocazione!

[gabriella127]

[otta96]

Grazie della danza e grazie della risposta gabriella127, comunque del PDF la versione che ho trovato sul Rudin è il teorema 1.23 (in realtà leggermente diversa, ne fa da ponte tra queste due la pagina Mathworld sul teorema), mentre quella di Wikipedia è il 1.25, anche se essendo nel caso infinito dimensionale c'è un'ipotesi in più sulla funzione, intendi quello con le corrispondenze? Comunque quasi mi interessava di più l'altra parte della domanda.

[gabriella127]

Copio dal tuo PDF se no si diventa scemi con tutti i riferimenti e le diverse versioni del teorema.



Hai scritto che 1.25 sopra è quella di wikipedia





questa 1.23 è quella di Rudin.


Sì, intendevo quella di Wikipedia quando parlo di versione per corrispondenze, cioè anche dette le funzioni multivoche (multi-valued) , che possono essere viste come funzioni da un insieme a l'insieme della parti.

Corrispondenze è il termine che si usa di più nella letteratura economica, perché è stato ripreso da Bourbaki da Debreu, uno dei principali teorici dell'equilibrio generale, frequentatore di Bourbaki, e dell'uso della topologia lì.¹


E mi riferivo al fatto che è quello che si usa per gli equilibri di Nash, a prescindere dalle strategie miste.

La versione di Debreu del teorema è:

Theorem (Kakutani) If $S$ is a non -empty, compact, convex subset of $mathbb{R}^m$, and if $phi$ is an upper semiconrinuous correspondence from $S$ to $S$ such thet for all $x\in S$ the set $\phi(x)$ is convex (non-empty), then $phi$ has a fixed point.²

Non è lì usato in teoria di giochi (il libro di Debreu non c'entra niente con la teoria dei giochi), ma per la dimostrazione dell'esistenza degli equilibri walrasiani.


La versione di Mas Colell, Microeconomic Theory, usata in teoria dei giochi per gli equilibri di Nash è uguale.

Questi sono i due teoremi che discendono da Kakutani:³

Proposition 8.D.3: A Nash equilibrium exists in game $\Gamma= $ $[I, \{S_i\}, \{u_i(\cdot)\}]$ if for all $i=1,..., I,.. $

(i)$S_i$ is a non empty, convex and compact subset of some Euclidean space $mathbb{R^M}$.
(ii) $u(s_1,...,s_I$) is quasi concave in $s_i$.

Proof: Usa Kakutani.


Proposition 8.D.2: Every game $\Gamma= $ $[I, \{S_i\}, \{u_i(\cdot)\}]$ in which the sets $S_1, ...S_I$ have a finite number of elements has a mixed stategy Nash equilibrium.

Proof: È un corollario di 8.D.3.




Non so dire, come tu sostieni, se il teorema 1.23 (Rudin) è più generale del 1.25 (Wikipedia), nel senso che comprende anche il caso con le corrispondenze.

Volevo solo chiarire l'uso in teoria dei giochi e economia, spero di non essere stata troppo noiosa.

Una spiegazione del perché la versione di Wikipedia è quella più citata è forse che è la più usata nelle applicazioni, ma non so.

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Note

1. Def. (Correspondence) If with each element $x$ in a given set $S$ is associated a non empty subset $Y$ of a given set $T$ , a function $phi$ from $S$ to the set of subsets of $T$ is defined. It is sometime preferable to consider $\phi$ a correspondence from $S$ to $T$. (Debreu) ↑
2. Debreu, Theory of value, p. 26. ↑
3. Mas Colell, p. 261 ↑

[otta96]

Ma quindi queste proposizioni dicono che ci sono equilibri di Nash il giochi con un numero finito di giocatori a patto che consideriamo anche le strategie miste? Grazie dello sforzo per il commento comunque.

[gabriella127]

Proposition 8.D.3: A Nash equilibrium exists in game $ \Gamma= $ $ [I, \{S_i\}, \{u_i(\cdot)\}] $ if for all $ i=1,..., I,.. $

(i)$ S_i $ is a non empty, convex and compact subset of some Euclidean space $ mathbb{R^M} $.
(ii) $ u(s_1,...,s_I $) is quasi concave in $ s_i $.

Proof: Usa Kakutani.

No, non ci devono essere le strategie miste, la proposizione 8.D.3 sopra riguarda gli equilibri di Nash e stop: un equilibrio di Nash, nudo e crudo, con strategie pure, esiste se sono valide quelle ipotesi del teorema.
È un risultato di esistenza di equilibrio di Nash con strategie pure.
(Nel teorema non specifica che sono strategie pure, lo dà per scontato che si intende quello se non si specifica, se no direbbe esplicitamente stategie miste).

Le stategie miste stanno solo nella seconda proposizione 8.D.2.