Esercizio sulla trasformata di Fourier

[Wuming9472]

Buonasera, avrei bisogno di assistenza per un esercizio riguardante il calcolo della trasformata di Fourier. Questo che allego è la correzione svolta dal professore. I miei dubbi sono i seguenti: c’è un punto, dove ho sottolineato di verde, in cui $e^(-iξx)$ è stato riscritto sotto la forma $cos(ξx)$; non dovrebbe essere $cos(ξx)-isin(ξx)$? L’altra cosa che non ho ben capito è perché faccia la derivata $d/(dξ) hat g(ξ)$.
Ringrazio in anticipo chi mi risponderà e chiedo gentilmente se sarà comunque possibile spiegarmi integralmente l’esercizio.

[ingres]

c’è un punto, dove ho sottolineato di verde ..

Risulta
$int_(-infty)^(+infty) e^(-i xi x) e^(-x^2) dx =$
$=int_(-infty)^(+infty) (cos(xi x) - i sin(xi x) ) e^(-x^2) dx =$
$= int_(-infty)^(+infty) cos(xi x)e^(-x^2) dx - i * int_(-infty)^(+infty) sin(xi x) e^(-x^2) dx =$
$=2* int_0^(+infty) cos(xi x)e^(-x^2) dx$
perchè si tratta di integrali su un dominio simmetrico rispetto all'origine rispettivamente di una funzione pari (doppio dell'integrale solo per x positive) e dispari (nullo).

L’altra cosa che non ho ben capito è perché faccia la derivata

Un abile trucco per risolvere l'integrazione della funzione. Facendo la derivata trova l'equazione differenziale

$(d hat g)/(d xi) = - xi/2 * hat g$

che risolta per variabili separabili ha come soluzione

$ hat g = hatg (0) e^(-xi^2)$

con $hatg (0)$ che può essere calcolata perchè si tratta di un integrale noto.

[pilloeffe]

Ciao Wuming9472,

Ricalcolo la trasformata della funzione proposta $f(x) = exp(- 3x^2 + 2x + 1) $ come l'avrei svolta io, tanto per vedere se tornano i conti, riferendomi all'integrale di cui a questo thread, che ripropongo qui di seguito opportunamente modificato:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^2 +\beta x} \text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\ e^{ \frac{\beta^2}{4\alpha} $

per $\text{Re}[\alpha] > 0 $
Si ha:

$hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} exp(- 3x^2 + 2x + 1) e^{- i\xi x} \text{d}x = e \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- 3x^2 + (2 - i\xi)x} \text{d}x $

Dunque nel caso in esame $\alpha = 3 $ e $\beta = 2 - i\xi $, sicché si ha:

$hat{f}(\xi) = e \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- 3x^2 + (2 - i\xi)x} \text{d}x = e \sqrt{\frac{\pi}{3}} e^{ \frac{(2 - i\xi)^2}{12}} = e \sqrt{\frac{\pi}{3}} exp(1/3 - i\xi/3 -\xi^2/12) = $
$ = e^{4/3} \sqrt{\frac{\pi}{3}}exp( - i\xi/3 - \xi^2/12) $

Sì, il risultato è corretto.

[Wuming9472]

Vi ringrazio infinitamente entrambi per i vostri preziosissimi contributi.
Adesso sono riuscito a comprendere senza alcun dubbio alcuno questo esercizio d’esame.

[NIcholasGiovs]

Ciao Wuming9472,

Ricalcolo la trasformata della funzione proposta $f(x) = exp(- 3x^2 + 2x + 1) $ come l'avrei svolta io, tanto per vedere se tornano i conti, riferendomi all'integrale di cui a questo thread, che ripropongo qui di seguito opportunamente modificato:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^2 +\beta x} \text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\ e^{ \frac{\beta^2}{4\alpha} $

per $\text{Re}[\alpha] > 0 $
Si ha:

$hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} exp(- 3x^2 + 2x + 1) e^{- i\xi x} \text{d}x = e \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- 3x^2 + (2 - i\xi)x} \text{d}x $

Dunque nel caso in esame $\alpha = 3 $ e $\beta = 2 - i\xi $, sicché si ha:

$hat{f}(\xi) = e \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- 3x^2 + (2 - i\xi)x} \text{d}x = e \sqrt{\frac{\pi}{3}} e^{ \frac{(2 - i\xi)^2}{12}} = e \sqrt{\frac{\pi}{3}} exp(1/3 - i\xi/3 -\xi^2/12) = $
$ = e^{4/3} \sqrt{\frac{\pi}{3}}exp( - i\xi/3 - \xi^2/12) $

Sì, il risultato è corretto.

Salve, ho un problema simile a Wuming9472, devo calcolare la trasformata di Fourier della funzione
$ f(x) = exp(-|x-3|+2) $
Non saprei come iniziare l'esercizio utilizzando la formula che Lei ha fornito, dovrei modificare la mia funzione in $ f(x) = exp(2 - sqrt((x-3)^2) )$ ?

[pilloeffe]

Ciao NIcholasGiovs,

Non saprei come iniziare l'esercizio utilizzando la formula che Lei ha fornito

No, qui il caso è più semplice: non c'è $x^2$, userei semplicemente la definizione di modulo o valore assoluto per spezzare l'integrale:

$|x - 3| := {(x - 3 \text{ se } x \ge 3),(3 - x \text{ se } x < 3):} $

Da cui si ha:

$f(x) = {(exp(- x + 5) \text{ se } x \ge 3),(exp(x - 1) \text{ se } x < 3):} $

Sicché la trasformata della funzione $f(x) $ sarà la seguente:

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^3 exp(x - 1) e^{- i\xi x} \text{d}x + \int_3^{+\infty} exp(- x + 5) e^{- i\xi x} \text{d}x = $
$ = 1/e \int_{-\infty}^3 e^{x(1 - i\xi)} \text{d}x + e^5 \int_3^{+\infty} e^{- x(1 + i\xi)} \text{d}x = $
$ = i (e^{2 - 3i\xi})/(\xi + i) - i (e^{2 - 3i\xi})/(\xi - i) = i e^{2 - 3i\xi} \cdot (- 2i)/(\xi^2 + 1) = 2 (e^{2 - 3i\xi})/(\xi^2 + 1) $

P.S.: non mi dare del Lei che sul forum non si usa e poi mi fai sentire ancora più vecchio di quanto già non sia...

[NIcholasGiovs]

Ciao Wuming9472,

Ricalcolo la trasformata della funzione proposta $f(x) = exp(- 3x^2 + 2x + 1) $ come l'avrei svolta io, tanto per vedere se tornano i conti, riferendomi all'integrale di cui a questo thread, che ripropongo qui di seguito opportunamente modificato:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^2 +\beta x} \text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\ e^{ \frac{\beta^2}{4\alpha} $

per $\text{Re}[\alpha] > 0 $
Si ha:

$hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} exp(- 3x^2 + 2x + 1) e^{- i\xi x} \text{d}x = e \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- 3x^2 + (2 - i\xi)x} \text{d}x $

Dunque nel caso in esame $\alpha = 3 $ e $\beta = 2 - i\xi $, sicché si ha:

$hat{f}(\xi) = e \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- 3x^2 + (2 - i\xi)x} \text{d}x = e \sqrt{\frac{\pi}{3}} e^{ \frac{(2 - i\xi)^2}{12}} = e \sqrt{\frac{\pi}{3}} exp(1/3 - i\xi/3 -\xi^2/12) = $
$ = e^{4/3} \sqrt{\frac{\pi}{3}}exp( - i\xi/3 - \xi^2/12) $

Sì, il risultato è corretto.

Salve, sto rivedendo questo esercizio e vorrei capire qualcosa di più, può gentilmente spiegarmi la teoria dietro questa formula?

$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha x^2 +\beta x} \text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\ e^{ \frac{\beta^2}{4\alpha} $

[Mephlip]

@NIcholasGiovs: Completa il quadrato all'esponente, per poi ricondurti all'integrale gaussiano con una sostituzione.

[pilloeffe]

Ciao NIcholasGiovs,

Ti scrivo come l'ho ricavata per estensione a $\CC $, poi naturalmente non escludo che ci siano altri metodi.
Si parte dalla ben nota relazione

\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{- a x^2} \text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{ a }}
\label{intGauss:I0(a)}
\end{equation}
che vale per $a > 0 $

A questo punto si è indotti a generalizzare considerando l'integrale seguente:

\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ibx}\text{d}x
\label{intGauss:I0(a,b)}
\end{equation}

dove $a > 0$, $b \in \RR $ e $i^2 := -1$.

Per risolvere l'integrale proposto, si consideri la funzione $f(z) = e^{- a z^2 + ibz}$ della variabile complessa $z = x + iy$, essendo $y$ una costante il cui valore per il momento non interessa. Si osservi che la funzione $f(z)$ è analitica, senza singolarità al finito nel piano di Gauss.
Pertanto, in accordo col Teorema di Cauchy, si ha:

\begin{equation}
\oint_{{\partial}D_R}e^{- a z^2 + ibz}\text{d}z = 0
\label{intGauss:I0(a,b) su C}
\end{equation}

essendo $\partialD_R$ la frontiera del rettangolo $D_R$ di vertici $(-R,0)$, $(R,0)$, $(R,iy)$ e $(-R,iy)$ percorsa in senso antiorario; si sta dunque considerando il caso $\text{Im} [z] = y > 0$, ma il ragionamento sarebbe analogo se si considerasse $\text{Im} [z] = y < 0$.

Esplicitando la (\ref{intGauss:I0(a,b) su C}) si ha:

\begin{equation}
\int_{- R}^{+ R}e^{-a x^2 + ibx}\text{d}x + \int_{R}^{R + iy}e^{- a z^2 + ibz}\text{d}z + \int_{R + iy}^{- R + iy}e^{- a z^2 + ibz}\text{d}z + \int_{- R + iy}^{- R}e^{- a z^2 + ibz}\text{d}z = 0
\label{intGauss:I0(a,b)_su_C_espl}
\end{equation}

Ma il secondo ed il quarto integrale di quest'ultima relazione, cioè quelli sui lati verticali del rettangolo $D_R$, danno contributo nullo per $R \to +\infty$, per cui si ha:

\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a x^2 + ibx}\text{d}x = \int_{-\infty + iy}^{+\infty + iy}e^{- a z^2 + ibz}\text{d}z
\label{intGauss:I0(a,b) su_C_final}
\end{equation}

Se nell'integrale che compare al secondo membro di quest'ultima equazione si tiene conto che $y$ è una costante, quindi $dz = dx$, e che $z = x + iy $, si ha:

\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ibx}\text{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a (x + iy)^2 + ib(x + iy)}\text{d}x
\label{intGauss:I0(a,b)_inv_su_iy}
\end{equation}

Dunque l'integrale (\ref{intGauss:I0(a,b)}) non cambia valore qualora non sia calcolato lungo l'asse reale, ma lungo ogni altra parallela all'asse reale. Svolgendo i calcoli si ha:

\begin{align*}
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ibx}\text{d}x & = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a (x + iy)^2 + ib(x + iy)}\text{d}x = e^{a y^2 -by}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 - 2a ixy + ibx}\text{d}x =\\
& = e^{a y^2 - by}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ix(b - 2 a y)}\text{d}x
\label{intGauss:I0(a,b)el}
\end{align*}

Se in quest'ultimo integrale si sceglie $y$ in modo tale che dall'esponente dell'integrando scompaia la parte immaginaria, cioè si pone $y := b/(2a)$, si ha:

\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ibx}\text{d}x = e^{- \frac{b^2}{4}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2}\text{d}x
\label{intGauss:I0(a,b)el_con_y=b/(2a)}
\end{equation}

Ma l'ultimo integrale della relazione precedente si può calcolare mediante la relazione (\ref{intGauss:I0(a)}), per cui si ha:

\begin{equation}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ibx}\text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\:e^{- \frac{b^2}{4a}}
\label{intGauss:I0(a,b)def}}
\end{equation}

A questo punto basta considerare $\alpha \in \CC$ con $a = \text{Re}[\alpha] > 0 $ al posto di $a$ e porre $\beta := ib \implies \beta^2 = - b^2 $ che si ha:

\begin{equation}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2 + \beta x}\text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\:e^{ \frac{\beta^2}{4\alpha}}
\label{intGauss:I0(alpha,beta)def}}
\end{equation}
per $ \text{Re}[\alpha] > 0 $

Notare che ponendo $\beta := - i \omega $ nell'ultima equazione scritta si ottiene la trasformata di Fourier della funzione $e^{-\alpha x^2} $:

\begin{equation}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha x^2 - i \omega x}\text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\:e^{ - \frac{\omega^2}{4\alpha}}
\label{intGauss:I0(alpha,- omega)}}
\end{equation}
per $ \text{Re}[\alpha] > 0 $

[NIcholasGiovs]

Salve, ho ancora qualche dubbio su alcune trasformate di Fourier.
Nel caso di una funzione esponenziale moltiplicata per un polinomio quale può essere $ f(x) = (5x + 3) exp(x-x^2) $ oppure moltiplicata per un coseno quale $ f(x) = cos(x) exp(x-x^2) $ come devo comportarmi?
Per quanto riguarda il cos(x) credo di doverlo trasformare in forma esponenziale, ma per quanto riguarda il polinomio non so proprio come comportarmi.