Esercizio sulla trasformata di Fourier

[pilloeffe]

Per quanto riguarda il cos(x) credo di doverlo trasformare in forma esponenziale

Esatto...

ma per quanto riguarda il polinomio non so proprio come comportarmi.

Puoi procedere integrando per parti, oppure si può dimostrare (ma non è proprio semplicissimo... ) che si ha:

\begin{equation}
\boxed{I_{n}(\alpha, \beta) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^n\:e^{-\alpha x^2 + \beta x}dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\:e^{\frac{{\beta}^2}{4\alpha}}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\frac{n!}{k!(n - 2k)!}\:\bigg(\frac{1}{4\alpha}\bigg)^{n-k}(2\beta)^{n-2k}}
\label{intGauss:In(alfa,beta)def}
\end{equation}

od anche:

\begin{equation}
\boxed{I_{n}(\alpha, \beta) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^n\:e^{-\alpha x^2 + \beta x}dx = \frac{1}{2^{n}} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\:e^{\frac{{\beta}^2}{4\alpha}}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\frac{n!}{k!(n - 2k)!}\:{\alpha}^{k-n}\:{\beta}^{n-2k}}
\label{intGauss:In(alfa,beta)elab}
\end{equation}

oppure ancora:

\begin{equation}
\boxed{I_{n}(\alpha, \beta) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^n\:e^{-\alpha x^2 + \beta x}dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\:e^{\frac{{\beta}^2}{4\alpha}}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}{n \choose 2k}\:(2k - 1)!!\:(2\alpha)^{k-n}{\beta}^{n-2k}}
\label{intGauss:In(alfa,beta)coeffbin}
\end{equation}

ove $\text{Re}[\alpha] = a > 0$, $\beta \in \CC_{-0}$, essendo $\CC_{-0} := \CC - {0} $

[NIcholasGiovs]

Per quanto riguarda il cos(x) credo di doverlo trasformare in forma esponenziale

Esatto...

ma per quanto riguarda il polinomio non so proprio come comportarmi.

Puoi procedere integrando per parti, oppure si può dimostrare (ma non è proprio semplicissimo... ) che si ha:

\begin{equation}
\boxed{I_{n}(\alpha, \beta) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^n\:e^{-\alpha x^2 + \beta x}dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\:e^{\frac{{\beta}^2}{4\alpha}}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\frac{n!}{k!(n - 2k)!}\:\bigg(\frac{1}{4\alpha}\bigg)^{n-k}(2\beta)^{n-2k}}
\label{intGauss:In(alfa,beta)def}
\end{equation}

od anche:

\begin{equation}
\boxed{I_{n}(\alpha, \beta) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^n\:e^{-\alpha x^2 + \beta x}dx = \frac{1}{2^{n}} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\:e^{\frac{{\beta}^2}{4\alpha}}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}\frac{n!}{k!(n - 2k)!}\:{\alpha}^{k-n}\:{\beta}^{n-2k}}
\label{intGauss:In(alfa,beta)elab}
\end{equation}

oppure ancora:

\begin{equation}
\boxed{I_{n}(\alpha, \beta) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^n\:e^{-\alpha x^2 + \beta x}dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\:e^{\frac{{\beta}^2}{4\alpha}}\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}{n \choose 2k}\:(2k - 1)!!\:(2\alpha)^{k-n}{\beta}^{n-2k}}
\label{intGauss:In(alfa,beta)coeffbin}
\end{equation}

ove $\text{Re}[\alpha] = a > 0$, $\beta \in \CC_{-0}$, essendo $\CC_{-0} := \CC - {0} $

Perdonami, ma non ho ben capito come devo fare. Ad esempio, con $ f(x) = (x^2) exp(-x+1) $ cosa devo fare?

[pilloeffe]

Ad esempio, con $f(x)=(x^2)exp(−x+1)$ cosa devo fare?

Non so se è un errore di battitura, ma ti sei reso conto che hai cambiato completamente tipo di funzione?
Se invece la funzione è $f(x) = (x^2)exp(−x^2+1)$ integrando per parti o sfruttando una delle relazioni che ti ho scritto nel mio post precedente mi risulta

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 exp(−x^2+1) e^(- i \omega x) \text{d}x = \sqrt{\pi} e^{1 - \omega^2/4} (1/2 - \omega^2/4) $

Quanto al resto, puoi dare un'occhiata ad esempio alla tabella delle trasformate di Fourier qui.

Ti chiederei poi la cortesia di non rispondere ai post col pulsante "CITA, ma col pulsante RISPONDI che trovi in fondo alla pagina. Questo perché raramente è necessario citare tutto il messaggio di chi ti ha risposto e facendolo si appesantisce inutilmente la lettura del thread. Comunque tranquillo, all'inizio della frequentazione del forum ci siamo cascati tutti, sottoscritto incluso...

[NIcholasGiovs]

Ti ringrazio per la celere risposta.
Sì, ho cambiato funzione perché volevo concentrarmi sul termine di secondo grado, sostanzialmente perché mi sono accorto che tutti i miei dubbi sono sul termine di secondo grado. Perdonami, ma nell'integrale che hai scritto non vedo $ x^2 $ che moltiplica l'esponente, è un errore di battitura?

[pilloeffe]

ma nell'integrale che hai scritto non vedo $x^2$ che moltiplica l'esponente, è un errore di battitura?

Sì, me n'ero accorto e lo stavo correggendo, ma mi hai preceduto...

Rileggendo il thread poi mi sono accorto anche di un altro errore di battitura nell'equazione (7) di qualche mio post fa:

Errata:
\begin{equation*} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ibx}\text{d}x = e^{- \frac{b^2}{4}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2}\text{d}x \label{intGauss:I0(a,b)el_con_y=b/(2a)} \end{equation*}

Corretta:
\begin{equation*} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ibx}\text{d}x = e^{- \frac{b^2}{4a}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2}\text{d}x \end{equation*}