@dissonance: Non mi riferivo al calcolo esplicito dei residui, su quello sono d'accordo che dopo la sostituzione $z=\frac{1}{\xi}$ debba comparire anche un fattore $\xi^{-2}$: ma verificare che la somma dei residui è $0$ è solo la seconda richiesta dell'esercizio. C'è anche la richiesta precedente, che richiede di stabilire chi sono i punti singolari al finito e all'infinito e determinarne la natura:
Erick97 ha scritto:vi era un esercizio su una funzione $$f(z)=\frac{z^3+1}{z+3}$$, in cui si chiedeva di calcolare i punti singolari al finito e all'infinito, determinarne la classe e verificare che valesse la relazione $$\sum_{i_{TOT}}Res[f(z)]=0$$ ovvero che la somma dei residui al finito e all'infinito facesse $0$.
Perciò, dato che la frase riportata dal docente:
Erick97 ha scritto:Il professore ha corretto il compito dicendo che il ragionamento fosse sbagliato ma non riesco a capire dove
è un po' vaga (si parla di ragionamento sbagliato, ma questo potrebbe riferirsi anche solo a parte dell'esercizio e non necessariamente alla parte della verifica di quell'identità), ho letto un po' tutto quello che ha scritto Erick97 e qui:
Erick97 ha scritto:Per determinare quindi il punto singolare al finito, come è ovvio basta porre $z+3=0$ e si trova immediatamente $z=-3$ punto singolare polare in quanto il $\lim_{z\to -3^{\pm}}f(z)=\pm \infty$ con $Res_{z=-3}[f(z)]=-26$.
Per il punto all'infinito io ho posto $\phi(\xi)=\frac{1}{\xi^2}\cdot f(1/ \xi)$, trovando così $$\phi(\xi)=\frac{1}{\xi^4}\cdot \frac{1+\xi^3}{1+3\xi}$$ risulta quindi $\xi=0$ punto singolare.
per come è scritto, significa che Erick97 ha messo in relazione $\phi(\xi)=\frac{1}{\xi^2}f\left(\frac{1}{\xi}\right)$
anche allo studio della
natura del punto singolare all'infinito e non
solo al calcolo del residuo all'infinito (perché fa così l'analisi precedente sul punto $z=-3$, quindi ragionevolmente farà lo stesso per quello successivo e infatti poi dice: "$\xi=0$ punto singolare"); per il calcolo del residuo all'infinito il procedimento è corretto, ma non lo è per la natura del punto all'infinito che, invece, richiede lo studio in $\xi=0$ solamente di $f\left(\frac{1}{\xi}\right)$ e non di $\frac{1}{\xi^2}f\left(\frac{1}{\xi}\right)$. Infatti, Erick97 stesso conferma poi nella risposta successiva di aver dedotto erroneamente che $z=\infty$ fosse un polo di ordine $4$ e quindi di aver erroneamente inserito $\xi^{-2}$ anche nello studio della natura del punto all'infinito. Perciò, secondo me, il docente potrebbe riferirsi a questo errore. Spero di esser stato più chiaro ora
!
@Erick97: Sì, mi risulta che il residuo in $\xi=0$ di $\frac{1}{\xi^2} f\left(\frac{1}{\xi}\right)$ sia $26$. Ti torna perché, come detto sopra, per questo invece devi usare $\frac{1}{\xi^2} f\left(\frac{1}{\xi}\right)$ come avevi fatto.
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.