Distribuzioni vs. Funzioni

[LucaGua81]

Sto studiando analisi funzionale da autodidatta e senza pretese di eccessivo rigore, ma non mi è chiarissima la definizione di distribuzione.
Ho capito che si tratta di un'estensione del concetto di funzione, ma non capisco bene quale sia la differenza tra distribuzioni e funzioni? In che senso una distribuzione non è una funzione? Potete darmi una spiegazione il più possibile semplice?
Grazie mille per l'aiuto

[pilloeffe]

Ciao LucaGua81,

La risposta alla tua domanda sarebbe un po' lunga, poco adatta ad essere scritta in un forum...
Ti consiglierei la lettura di https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_(matematica) e, soprattutto per la bibliografia, di https://en.wikipedia.org/wiki/Distribution_(mathematics): uno dei testi consigliati dovrebbe trovarsi anche online in formato .pdf:
Lighthill M. J. - Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions - 1959 - Cambridge University Press

[otta96]

È una cazzata, non sono una generalizzazione delle funzioni, sono proprio funzioni.
Questa cosa diffusa è un retaggio di quando con funzioni si consideravano solo quelle da $RR$ in $RR$ (e varianti, tipo $CC$, $RR^n$ e simili al posto del dominio e/o del codominio). Le distribuzioni sono funzioni, solo che hanno come dominio gli spazi vettoriali di qualche tipo (per lo più di Banach nell'analisi funzionale). Il motivo per cui per questo tipo di funzioni si dice che sono generalizzazioni delle funzioni è che in un senso lato (e quello dovresti capirlo perchè è significativo) agiscono come funzioni nel vecchio senso tipo da $RR$ in $RR$, pensa in particolare alla delta di Dirac.

[dissonance]

È una cazzata, [...]

Perché tanta aggressività? Storicamente le distribuzioni si sono sempre chiamate "generalized functions", e per essere onesto secondo me è una notazione migliore. "Distribuzione" rimanda all'elettrostatica, con le distribuzioni di carica che hanno un segno, possono essere concentrate in un unico punto (delta di Dirac), o possono formare multipoli (derivate della delta di Dirac). Va benissimo, ma se uno non è familiare con l'elettrostatica la parola "distribuzione" non gli dice niente.

Io suggerisco a Luca di familiarizzare con un solo esempio: la delta di Dirac. In primo luogo, la matematica si studia sugli esempi. Quando si vede una nuova definizione bisogna subito andarsi a fare degli esempi. E in secondo luogo, la delta di Dirac è di gran lunga l'esempio più importante di distribuzione.

[otta96]

Perchè sono particolarmente insofferente alle convenzioni senza senso.

[pilloeffe]

Perché sono particolarmente insofferente alle convenzioni senza senso.

Beh, non sono d'accordo.
La creazione della teoria delle distribuzioni è dovuta al matematico francese Laurent Schwartz (1915-2002) che gli valse nel 1950 la medaglia Fields, massima onorificenza in campo matematico. Il titolo del suo primo articolo su questo tema è del 1945 ed è un manifesto, una sintesi efficace degli scopi e dei contenuti della teoria delle distribuzioni: Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques.

Un'altra lettura che consiglio all'OP è la seguente:
https://bramanti.faculty.polimi.it/testi/delta_dirac_dispensa.pdf

[otta96]

A questo punto sono curioso di come Schwartz definisce le distribuzioni.

[pilloeffe]

Se mastichi un po' di francese (per la verità quello tecnico/matematico si capisce abbastanza bene senza grossi sforzi anche per uno come me che ha studiato solo l'inglese... ), puoi leggerti direttamente le pubblicazioni di Laurent Schwartz che trovi nella bibliografia della dispensa di cui ho consigliato la lettura all'OP nel mio post precedente.