Definizione e interpretazione fisica dell'integrale complesso

[DeSkyno18]

Un integrale complesso è definito come:
$ \int_\gamma f(z) dz = \int_\gamma udx-vdy + i\int_\gamma udy+vdx = \int_a^b f(z(t)) \cdot z'(t) dt $
(con $ \gamma $ orientato positivamente e con $ z = z(t), t\in[a,b] $ sua parametrizzazione)

Sia la prof che il libro, definiscono in modo veloce e senza troppe spiegazioni l'integrale come:
$ \int_\gamma f(z) ds = \int_a^b f(z(t)) ||z'(t)|| dt $

Ora, una funzione complessa di variabile complessa possiamo vederla come una funzione vettoriale, per cui $ f $ è associata ad una forma differenziale di coefficienti $ u(x,y) $ e $ v(x,y) $, da cui la prima definizione. Nel secondo caso, la funzione integranda dovrebbe essere scalare, quindi non dovremmo considerare $ |f(z)| $, o in generale, una diversa notazione?

Per quanto riguarda l'interpretazione fisica, se consideriamo una curva chiusa e vediamo la prima definizione come due prodotti scalari canonici
$ ((u),(-v))\cdot((dx),(dy)) $ e $ ((u),(-v))\cdot((dy),(-dx)) $
possiamo vedere l'integrale come un numero complesso che ha come parte reale la circuitazione del campo coniugato $ \bar{f}(t)=[u(x,y),-v(x,y)] $ lungo la curva $ \gamma $ e come coefficiente dell'immaginario il flusso di $ \bar{f}(t) $ lungo $ \gamma $.
Ora, il secondo integrale, di norma, si calcola lungo una superficie (gaussiana) di contorno $ \gamma $. Una superficie 'piatta', come quella considerata nella definizione, non dovrebbe essere una superficie gaussiana, o sbaglio?

[pilloeffe]

Ciao DeSkyno18,

Sia la prof che il libro, definiscono in modo veloce e senza troppe spiegazioni l'integrale come:
$ \int_{\gamma}f(z) ds =\int_a^b f(z(t))||z'(t)||dt $

Beh, ci sta: $\text{d}s = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \text{d}t = ||z'(t)|| \text{d}t $

Per quanto riguarda l'interpretazione fisica, [...]

Sì, per una curva $\gamma $ chiusa con $f = u + iv \implies \bar{f} = u - iv $ si ha:

$ \int_\gamma f(z) \text{d}z = \int_{\gamma} u \text{d}x-v \text{d}y + i\int_{\gamma} u \text{d}y+v \text{d}x = \int_{\gamma} \bar{f} \cdot \mathbf{\hat t} \text{d}s + i\int_{\gamma} \bar{f} \cdot \mathbf{\hat n} \text{d}s = $
$ = \int \int_{S} \nabla \times \bar{f} \text{d}\Sigma + i \int \int_{S} \nabla \cdot \bar{f}\text{d}\Sigma = \int \int_{S} \text{rot}\bar{f} \text{d}\Sigma + i \int \int_{S} \text{div}\bar{f}\text{d}\Sigma $

ove $S$ è una qualsiasi superficie che si appoggi su $\gamma$, quindi può anche essere la regione piana che ha come frontiera $\gamma $

[DeSkyno18]

quindi può anche essere la regione piana che ha come frontiera $ \gamma $

Ah ok, avevo questo dubbio poiché la prof concorda con te, mentre wikipedia non la considera una superficie gaussiana.

Beh, ci sta: $ \text{d}s = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \text{d}t = ||z'(t)|| \text{d}t $

Ma $ f(z(t)) $ non rappresenta un campo vettoriale poiché $ f : \mathbbC ~= \mathbbR^2 -> \mathbbC ~= \mathbbR^2$? Posso comunque integrare rispetto a $ ds $? $ f $ non dovrebbe essere scalare?

[dissonance]

OK, allora, l'integrale di una funzione complessa di variabile complessa non è la stessa cosa della circuitazione di un campo vettoriale. Infatti tu non integri in \(ds\). Tu integri in \(dz\). Il \(ds\) qua non c'entra nulla.

[dissonance]

Mi spiego in modo specifico:

Un integrale complesso è definito come:
$ \int_\gamma f(z) dz = \int_\gamma udx-vdy + i\int_\gamma udy+vdx = \int_a^b f(z(t)) \cdot z'(t) dt $
(con $ \gamma $ orientato positivamente e con $ z = z(t), t\in[a,b] $ sua parametrizzazione)

Ok. MA ATTENZIONE! Quel \(\cdot\) NON indica il prodotto scalare. Quello è il prodotto di numeri complessi. Passiamo all'altra definizione:

$ \int_\gamma f(z) ds = \int_a^b f(z(t)) ||z'(t)|| dt $

Questa è una roba diversa. A livello di notazione, non ti conviene usare la variabile \(z\) qui, perché fa pensare all'analisi complessa, mentre questa roba qui è intrinsecamente reale. Qui \(f=f(x, y)\) è un campo scalare, reale, e lo stai integrando su una curva piana. Non c'è analisi complessa qua.

-----

Ora è chiaro che se uno studia queste cose per anni, le connessioni tra i vari concetti le trova. In fondo tutti gli integrali non sono che somme. Ma le definizioni che riporti sono diverse e le devi trattare in modo diverso.

[DeSkyno18]

OK, allora, l'integrale di una funzione complessa di variabile complessa non è la stessa cosa della circuitazione di un campo vettoriale. Infatti tu non integri in \( ds \). Tu integri in \( dz \). Il \( ds \) qua non c'entra nulla.

Non posso considerare l'integrale di una funzione complessa di variabile complessa come somma della circuitazione del campo $ \bar{f} $ e del flusso del medesimo campo?

Qui f=f(x,y) è un campo scalare, reale, e lo stai integrando su una curva piana.

Ma $ f(x,y) $ con $ f $ funzione complessa, non dovrei considerarla un campo vettoriale?

Scusami per tutte queste domande, ma tra tutti questi integrali (non spiegati al meglio da prof e libri) si crea molta confusione, soprattutto ora che li sto valutando con funzioni complesse

[dissonance]

Se hai una funzione complessa di variabile complessa, non la integrerai mai rispetto a \(ds\). In teoria lo puoi fare, ma non è utile, l'integrale dell'analisi complessa è diverso.

Il \(ds\) è reale. Quando scrivi \(\int_\gamma f(z)ds\), dove \(f(z)=u(x, y)+i v(x, y)\), stai scrivendo esattamente
\[\tag{1}
\int_\gamma u(x, y)\, ds+ i \int_\gamma v(x, y)\, ds.\]
Questi sono due integrali di funzioni scalari, il che ha senso: stiamo vedendo \(f\) come un campo vettoriale, quindi come un oggetto con due componenti. Il suo integrale sarà un vettore pure lui. Ma come vedi, non c'è niente di "complesso" qui. Di solito studi \(f(z)\) usando proprietà di analisi complessa, come l'essere olomorfa. Queste cose spariscono completamente in (1).

[DeSkyno18]

Perfetto tutto chiaro, grazie mille!