Teorema di Fubini e analisi funzionale

[LucaGua81]

Ciao a tutti,
non riesco a visualizzare a livello intuitivo il contenuto del teorema di Fubini. Vedo che c'è una equivalenza tra un integrale e un integrale doppio, ma non capisco le implicazioni di questa equivalenza. Qualcuno me lo può spiegare ? Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao LucaGua81,

Vedo che c'è una equivalenza tra un integrale e un integrale doppio, ma non capisco le implicazioni di questa equivalenza.

Il teorema di Fubini, chiamato in onore del matematico italiano Guido Fubini, fornisce una condizione sufficiente affinché sia possibile effettuare l'inversione dell'ordine di integrazione (quindi almeno si parla di integrali doppi... ). Potresti dare un'occhiata ad esempio qui, oppure anche alla versione in inglese qui (anche per la bibliografia più ricca).

[dissonance]

In realtà il teorema di Fubini descrive un fenomeno che dovrebbe apparirci intuitivamente ovvio. La cosa sorprendente non è il teorema. La cosa sorprendente è che ci sia bisogno di ipotesi, ovvero che se queste ipotesi non sono soddisfatte il teorema potrebbe fallire! Quella è una cosa non intuitiva e che io stesso fatico a credere. Ora procedo a spiegare perché.

Ricordiamoci sempre che, a livello intuitivo, un integrale è una somma. Una somma è il numero seguente:
\[
a_1+a_2+\ldots+a_n,\]
che scriviamo usando il simbolo, molto conveniente, di sommatoria:
\[
\sum_{k=1}^n a_k.\]
Nell'esempio precedente abbiamo sommato \(n\) numeri disposti in fila:
\[
\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \end{bmatrix}.
\]
Ma supponiamo di avere invece \(n\times m\) numeri disposti in una tabella:
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots &a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} &\ldots & a_{mn}
\end{bmatrix}.
\]
Vogliamo sommare tutti questi numeri. Qui appare una scelta da fare. Potremmo sommare per colonne, ovvero sommare tutti gli elementi di ciascuna colonna, appuntare i risultati e infine sommare tutti questi risultati. Usando la notazione con le sommatorie, stiamo eseguendo l'operazione seguente:
\[
\sum_{h=1}^m \left( \sum_{k=1}^n a_{kh} \right).\]
Oppure potremmo sommare per righe, ovvero sommare tutti gli elementi di ciascuna riga, appuntare i risultati e infine sommare tutti questi risultati:
\[
\sum_{k=1}^n \left( \sum_{h=1}^m a_{kh} \right).\]
Siccome la somma è una operazione commutativa, è chiaro che questi due procedimenti porteranno allo stesso risultato. Infatti, potremmo sommare gli elementi della tabella nell'ordine che più ci piace e otteremo sempre lo stesso risultato, che possiamo ancora scrivere con il simbolo di sommatoria, ma con due indici, ovvero una sommatoria doppia, la versione finita dell'integrale doppio:
\[
\sum_{h=1\ldots m,\ k=1\ldots n} a_{kh}.\]
Abbiamo così dimostrato la seguente identità:
\[\tag{1}
\sum_{h=1}^m \left( \sum_{k=1}^n a_{kh} \right) = \sum_{k=1}^n \left( \sum_{h=1}^m a_{kh} \right) = \sum_{h=1\ldots m,\ k=1\ldots n} a_{nm}.\]
Questo è il teorema di Fubini.

NOTA FINALE: Abbiamo detto che a livello intuitivo, un integrale è una somma. Se invece avessimo detto che un integrale è un *limite* di somme, saremmo passati dal livello intuitivo al livello rigoroso. Ma questo post riguarda il livello intuitivo; per il rigore ci sono i libri.

[megas_archon]

Ricordiamoci sempre che, a livello intuitivo, un integrale è una somma. Una somma è il numero seguente:
\[
a_1+a_2+\ldots+a_n,\]
che scriviamo usando il simbolo, molto conveniente, di sommatoria:
\[
\sum_{k=1}^n a_k.\]
Nell'esempio precedente abbiamo sommato \(n\) numeri disposti in fila:
\[
\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_n \end{bmatrix}.
\]
Ma supponiamo di avere invece \(n\times m\) numeri disposti in una tabella:
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots &a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m2} &\ldots & a_{mn}
\end{bmatrix}.
\]
Vogliamo sommare tutti questi numeri. Qui appare una scelta da fare. Potremmo sommare per colonne, ovvero sommare tutti gli elementi di ciascuna colonna, appuntare i risultati e infine sommare tutti questi risultati. Usando la notazione con le sommatorie, stiamo eseguendo l'operazione seguente:
\[
\sum_{h=1}^m \left( \sum_{k=1}^n a_{kh} \right).\]
Oppure potremmo sommare per righe, ovvero sommare tutti gli elementi di ciascuna riga, appuntare i risultati e infine sommare tutti questi risultati:
\[
\sum_{k=1}^n \left( \sum_{h=1}^m a_{kh} \right).\]
Siccome la somma è una operazione commutativa, è chiaro che questi due procedimenti porteranno allo stesso risultato. Infatti, potremmo sommare gli elementi della tabella nell'ordine che più ci piace e otteremo sempre lo stesso risultato, che possiamo ancora scrivere con il simbolo di sommatoria, ma con due indici, ovvero una sommatoria doppia, la versione finita dell'integrale doppio:
\[
\sum_{h=1\ldots m,\ k=1\ldots n} a_{kh}.\]
Abbiamo così dimostrato la seguente identità:
\[\tag{1}
\sum_{h=1}^m \left( \sum_{k=1}^n a_{kh} \right) = \sum_{k=1}^n \left( \sum_{h=1}^m a_{kh} \right) = \sum_{h=1\ldots m,\ k=1\ldots n} a_{nm}.\]
Questo è il teorema di Fubini.

NOTA FINALE: Abbiamo detto che a livello intuitivo, un integrale è una somma. Se invece avessimo detto che un integrale è un *limite* di somme, saremmo passati dal livello intuitivo al livello rigoroso. Ma questo post riguarda il livello intuitivo; per il rigore ci sono i libri.

Non sono d'accordo che questo esempio sia particolarmente illuminante o anche solo collegato al teorema di Fubini. La somma che hai scritto tu è una somma finita, e per le somme finite si può scambiare l'ordine in cui si somma senza alcuna ipotesi aggiuntiva.

Il fatto controintuitivo è proprio che le somme infinite non godano né della proprietà associativa (mettete delle parentesi a \(1-1+1-1+1-1+\dots\) in due modi diversi, cosa viene?) né della proprietà commutativa (ma questo non è banale, è un teorema di Riemann).

Accettato questo, le condizioni aggiuntive affinché le sommatorie siano intercambiabili sono proprio quelle fissate dal teorema di F., e né nell'enunciato né nella dimostrazione c'è niente di strano. E' come trovato controintuitivo che non tutti i domini di integrità siano UFD, è strano, ma è anche interessante ed è un fatto della vita.

Che le somme infinite non godano delle proprietà associativa/commutativa può poi apparire controintuitivo, ma del resto, in retrospettiva, chiunque ha passato un esame di analisi può fare la domanda speculare: perché mai dovrebbero goderne? Dove sta scritto?

[dissonance]

Mi sembra che stiamo dicendo la stessa cosa in due modi diversi, un po' come quello che vede il bicchiere mezzo vuoto mentre l'altro lo vede mezzo pieno.

Sono d'accordo con te che il fenomeno interessante non avviene quando il teorema è valido. Quello è il caso "boring". Un po' come dire: "qualcosa che intuitivamente dovrebbe essere vero, è vero". Con il mio post precedente cercavo di spiegare perché qualcuno potrebbe intuitivamente pensare che il teorema di Fubini sia vero. A questo proposito, non sono d'accordo con il tuo commento seguente:

questo esempio sia [...] collegato al teorema di Fubini

Beh, si, è collegato perché ne è un caso particolare. L'esempio di sopra è il caso più semplice possibile di teorema di Fubini, in cui le misure coinvolte sono le "counting measures" sugli insiemi finiti $\{1, \ldots, n\}$ e $\{1, \ldots, m\}$. Uno osserva un teorema in un caso particolare e congettura che possa valere in generale. A mio avviso, questo esempio è pedagogicamente utile proprio perché percorre questo cammino deduttivo.

[gugo82]

@ dissonance & megas_archon:



@ LucaGua81: Sinceramente, dopo un mese, cosa c'entri l'Analisi Funzionale con quanto chiesto nel post di apertura ancora non l'ho capito...

[dissonance]

Ahahah di solito questi meme sono terribili, ma stavolta devo dire che ha centrato esattamente nel segno, riassume perfettamente questa discussione