Serie di Fourier

[w3ns]

Salve a tutti.
Sto studiando le serie di Fourier e vorrei capire il metodo di calcolo dei coefficienti utilizzando
l'espressione di Eulero; cioè quella che permette il calcolo dei coefficienti tramite formula generale


$ int_(0)^(1) f(x)*e^(-2*pi*i*n*x) dx $

vorrei partire da una funzione semplice ad es $ f(x) = x $ nell'intervallo $ [ -pi ; pi] $

in questo caso il periodo non è $ 1 $ quindi divido per $ 1/(2*pi) $

ottenendo

$ 1/(2*pi) * sum(int_(0)^(1) x*e^(-i*n*x) dx ) $

integrando per parti arrivo a

$ (-i)/n *cos(pi*n) $

che dovrebbe essere $ cn $

sapend che $ cos (pi*n) $ è diverso da zero quando $ n $ è pari potrei sostituire n con $ 2k $

è corretto il ragionamento ? grazie

[Quinzio]

$cos (\pi n)$ e' sempre diverso da zero.

[w3ns]

si in effetti. Ho rivisto i calcoli è ho commesso degli errori.
Il risultato finale è

$ (1/n^2 - (pi *i )/n) * (e^(pi *i*n) - e^(-pi *i*n)) $

dove posso scrivere l'esponenziale come

$ 2*i*sen(pi *n) $ (corretto?)

a questo punto devo moltiplicare per un fattore di $ 1/(2* pi) $

solo che il risultato finale non torna con quanto da il libro.

[pilloeffe]

Ciao w3ns,

A parte che naturalmente ha ragione Quinzio ed in particolare si ha $cos(\pi n) = (- 1)^n $, per una funzione $ f(x)$ definita nell'intervallo $(—L, L)$ e determinata al di fuori di questo intervallo da $f(x + 2L) = f(x)$, cioè avente periodo $T = 2L$, la serie di Fourier per $ f(x)$ può essere scritta in forma complessa nella forma seguente:

$ f(x) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n e^{i n \pi x/L} $

ove

$c_n = 1/(2L) \int_{-L}^L f(x) e^{- i n \pi x/L} \text{d}x $

Nel tuo caso si ha $f(x) = - f(- x) = x $ e $L = \pi $ sicché si ha:

$ x = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n e^{i n x} $

ove

$c_0 = 1/(2\pi) \int_{-\pi}^{pi} x \text{d}x = 0 $

$c_n = 1/(2\pi) \int_{-\pi}^{pi} x e^{- i n x} \text{d}x = 1/(2\pi) \int_{-\pi}^{pi} x [cos(nx) - isin(nx)] \text{d}x = $
$ = 1/(2\pi) [\int_{-\pi}^{pi} x cos(nx) \text{d}x - i\int_{-\pi}^{pi} x sin(nx) \text{d}x] = 1/(2\pi) [0 - i\int_{-\pi}^{pi} x sin(nx) \text{d}x] = $
$ = - i/(2\pi) \cdot (-2 n \pi cos(\pi n) + 2 sin(\pi n))/n^2 = i/n cos(\pi n) = (-1)^n/n i $

ovviamente con $ n \ne 0 $
Peraltro nel caso specifico sarebbe stato meglio osservare che la funzione $x$ è dispari sicché $ \forall n \in \ZZ $ si ha $a_n = 0 $ e poi si ha:

$b_n = 2/\pi \int_0^{\pi} x sin(n x) \text{d}x = - 2/n cos(\pi n) = - 2/n (- 1)^n = 2/n (- 1)^{n + 1} $

Non è difficile verificare la validità delle relazioni

$c_0 = a_0/2 = 0 $

$c_n = (a_n - ib_n)/2 $

$c_{- n} = (a_n + ib_n)/2 $

ove $n \in \NN $

[w3ns]

Sei stato chiarissimo ti ringrazio!