Antitrasformata LaPlace

[ste88r]

Buongiorno,

vi chiedo un aiuto in quanto sono in confusione piena.
La domanda è:
risolvendo una eq. diff sec ordine con la trasformata di Laplace mi trovo ad un certo punto a doverla "sistemare" in modo da calcolare le varie antitrasformata.
Io un po' ignorantemente applico sempre i fratti semplici. ma ho capito che si può usare anche il metodo dei residui.
Qualcuno può darmi supporto?

grazie
Stefano

[pilloeffe]

Ciao Stefano,

A parte che non credo che sia male il metodo della scomposizione in fratti semplici, potresti dare un'occhiata ad esempio qui. Se scrivi la trasformata che hai ottenuto possiamo aiutarti meglio a trovare l'antitrasformata...

[ste88r]

grazie.
non ho esempio in quanto non so bene come muovermi.
L'esempio però nel link che mi ha suggerito è molto utile.
Non riesco a capire il perchè dopo aver splittato la funzione (Az+B ... C... D) perchè utilizza i residui e non va banalmente a calcolare il MCD e fare le varie moltiplicazioni per (Az+B ... C... D) ?

grazie

[pilloeffe]

non ho esempio in quanto non so bene come muovermi.

Scusa, come non hai esempio, nell'OP

risolvendo una eq. diff sec ordine con la trasformata di Laplace mi trovo ad un certo punto a doverla "sistemare" in modo da calcolare le varie antitrasformata.

Basta che scrivi l'equazione differenziale del secondo ordine che devi risolvere con le due condizioni iniziali: ci calcoliamo la trasformata di Laplace e poi la soluzione dell'equazione differenziale antitrasformando...
Una buona tabella delle trasformate di Laplace si può trovare ad esempio qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

[ste88r]

$ F(s)=(4s+2)/((s+1)*(s+3)*(s+5) $
ecco un esempio.

Temo che la confusione si crei sulla questione poli.

[pilloeffe]

Scomponendo in fratti semplici si può scrivere:

$ F(s) = (4s+2)/((s+1)(s+3)(s+5)) = A/(s + 1) + B/(s + 3) + C/(s + 5) $

$ A =\text{Res}[F(s), - 1] = \lim_{s \to - 1} (s + 1) (4s+2)/((s+1)(s+3)(s+5)) = \lim_{s \to - 1} (4s+2)/((s+3)(s+5)) = - 1/4 $

$ B =\text{Res}[F(s), - 3] = \lim_{s \to - 3}(s + 3) (4s+2)/((s+1)(s+3)(s+5)) = \lim_{s \to - 3} (4s+2)/((s+1)(s+5)) = (- 10)/(- 4) = 5/2 $

$ C =\text{Res}[F(s), - 5] = \lim_{s \to - 5}(s + 5) (4s+2)/((s+1)(s+3)(s+5)) = \lim_{s \to - 5} (4s+2)/((s+3)(s+1)) = - 9/4 $

[ste88r]

Buongiorno, innanzitutto grazie per l'aiuto.

ecco il mio dubbio è proprio questo. perché qua hai usato i residui? non bastava fare:

((A(s+3)(S+5)+B(s+1)(S+5)+C(s+1)(S+3))/((s+1)(S+3)(s+5))=4s+2

[pilloeffe]

innanzitutto grazie per l'aiuto.

Prego.

ecco il mio dubbio è proprio questo. perché qua hai usato i residui? non bastava fare:

((A(s+3)(S+5)+B(s+1)(S+5)+C(s+1)(S+3))/((s+1)(S+3)(s+5))=4s+2

Sono due tecniche alternative, o usi i residui o il principio di identità dei polinomi, che però hai scritto male:

$ F(s) = (4s+2)/((s+1)(s+3)(s+5)) = A/(s + 1) + B/(s + 3) + C/(s + 5) = $
$ = (A(s+3)(s+5)+B(s+1)(s+5)+C(s+1)(s+3))/((s+1)(s+3)(s+5)) $

Quindi per il principio di identità dei polinomi deve essere

$ A(s+3)(s+5)+B(s+1)(s+5)+C(s+1)(s+3) = 4s + 2 $
$ A(s^2 + 8s + 15)+B(s^2 + 6s + 5)+C(s^2+ 4s + 3) = 4s + 2 $
$ (A + B + C)s^2 + (8A + 6B + 4C)s + 15A + 5B + 3C = 4s + 2 $

Da cui si ottiene il sistema seguente:

${(A + B + C = 0),(8A + 6B + 4C = 4),(15A + 5B + 3C = 2):} $

Risolto porge le stesse soluzioni già ottenute (più velocemente) col metodo dei residui:

$ A = - 1/4 $, $ B = 10/4 = 5/2 $, $C = - 9/4 $