Chiarificazione sulla notazione su integrale

[3m0o]

Vorrei chiedere una chiarificazione sulla notazione

Se \( (X,\mathcal{A},\mu)\) è uno spazio di Lebesgue e \( \mathcal{B} \subset \mathcal{A} \) è una sotto \(\sigma\)-algebra allora esiste una famiglia di misure di probabilità \( \{ \mu_x : x \in X \} \) su \(X\) (disintegration of the measure credo si chiami) tale che per ogni \(f \in L^2(X,\mathcal{A},\mu)\) e per ogni \(B \in \mathcal{B} \) abbiamo che
\[ \int_B f d \mu = \int_B ( \int f d \mu_x ) d \mu(x)\]

Io ho sempre visto le notazioni
\[ \int f d \mu \]
e
\[ \int f(x) d \mu(x) \]
come la stessa cosa, qui me le usa entrambe, la mia domanda è: nel integrale di destra mi sta specificando \( d \mu(x) \) per via del fatto che considera \( \mathbb{E}(f \mid \mathcal{B})(x) = \int f d \mu_x \) come la proiezione ortognale di \(L^2(X,\mathcal{A},\mu) \) in \( L^2(X,\mathcal{B},\mu) \) e quindi potrebbe scrivere
\[ \int_B \mathbb{E}(f \mid \mathcal{B}) d \mu \]
che è la stessa cosa di scrivere
\[ \int_B \mathbb{E}(f \mid \mathcal{B})(x) d \mu(x) \]
oppure hanno due significati differenti in questo contesto?

[dissonance]

Non hanno significati differenti. Hai capito bene.

[3m0o]

Grazie mille, come sospettavo