Ciao a tutti. Sono alle prese con un esercizio sulla completezza degli spazi di Hilbert.
Sono agli inizi per quanto riguarda lo svolgimento di tali esercizi e non sono ancora molto pratico. Tuttavia ho un esercizio che non riesco ad impostare e mi chiedevo se potevate darmi cortesemente una mano.
Lo spazio $H={f:\int_{0}^{1} x\abs{f(x)}^2 dx <+\infty}$ dotato di prodotto scalare: $(f,g):= \int_{0}^{1} x \bar{f(x)}g(x) dx}$, risulta uno spazio di Hilbert. Verificare la sua completezza. Mostrare inoltre che $L^2(0,1)\subset H$ e che quindi esistono $f\inH$ tali che $f \notin L^2(0,1)$.
So dalla definizione che uno spazio di Hilbert si dice completo se ogni successione di Cauchy contenuta al suo interno ammette limite in esso. Ma nel caso in esame non so come poter utilizzare e sfruttare tale definizione. Potete darmi consigli, spunti su come si deve procedere in tal caso?
Grazie mille a tutti!