Trasformata di Fourier in $L^2(RR^n)$

[andreadel1988]

Sapendo che $f in L^2(RR^n)$, allora vale $lim_(epsilon->0+)\int_(RR^n)e^(-i<x,xi> -epsilon|x|)f(x)dx=\mathcal{F}_2f(xi)$ in $L^2(RR^n)$, dove $\mathcal{F}_2f$ indica la trasformata di Fourier in $L^2(RR^n)$.
Intanto al primo termine dopo il limite abbiamo una trasformata di Fourier in $L^1(RR^n)$, ovvero $\mathcal{F}_1(e^(-epsilon|x|)f(x))(xi)$ e quindi in teoria per essere ben posta si dovrebbe avere $e^(-epsilon|x|)f(x)inL^1(RR^n)$, ma non mi risulta si possa evincere in qualche modo...
Inoltre per la risoluzione avevo pensato di considerare la successione ${e^(-|x|/n)f(x)}_{ninNN}$ che converge in $L^2(RR^n)$ a $f(x)$ e inoltre usando quindi che è una successione di Cauchy e teorema di Parseval si ottiene la convergenza in $L^2(RR^n)$ della successione ${mathcal{F}_1(e^(-|x|/n)f(x))}_{ninNN}$ e quindi necessariamente essa deve convergere a $\mathcal{F}_2f$ (notare che $epsilon=1/n->0^+$ per $n->+infty$).
Non so se però sia tutto giusto, quindi se qualcuno riesce a darmi una mano, grazie mille.

[dissonance]

si dovrebbe avere $e^(-epsilon|x|)f(x)inL^1(RR^n)$, ma non mi risulta si possa evincere in qualche modo...

Si, è vero, puoi togliere il "dovrebbe". Per dimostrarlo, usa la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.