$alpha$-derivata debole della mollificata di una funzione

[andreadel1988]

Sia $u \in L_{Loc}^1(\mathbb{R^n})$ $\alpha$-derivabile in senso debole. Indichiamo con $u_{\epsilon}$ e $(D^{\alpha}u)_{\epsilon}$ rispettivamente le funzioni mollificate di $u$ e $D^{\alpha}u$, possiamo concludere che $D^{\alpha}u_{\epsilon}(x)=(D^{\alpha}u)_{\epsilon}(x)$ per ogni $x \in \mathbb{R^n}$?

Io ho provato in questo modo:

Siccome $u_{\epsilon}inC^\infty(\mathbb{R^n})$ allora l'$\alpha$-derivata debole coincide con l'$\alpha$-derivata, per cui: $D^{\alpha}u_{\epsilon}(x)=\frac{1}{\epsilon^n} \int_{\mathbb{R^n}} u(y) D_x^{\alpha}\phi(\frac{y-x}{\epsilon}) dy$. Ora osservando che $D_x^{\alpha}\phi(\frac{y-x}{\epsilon})=D_y^{\alpha}\phi(\frac{y-x}{\epsilon})$ se $\alpha$ è pari e $D_x^{\alpha}\phi(\frac{y-x}{\epsilon})=D_y^{\alpha}\phi(\frac{x-y}{\epsilon})$ se $\alpha$ è dispari otteniamo:

$D^{\alpha}u_{\epsilon}(x)={(\frac{1}{\epsilon^n} \int_{\mathbb{R^n}} u(y) D_y^{\alpha}\phi(\frac{y-x}{\epsilon}) dy ,if \alpha text{ pari}),(\frac{1}{\epsilon^n} \int_{\mathbb{R^n}} u(y) D_y^{\alpha}\phi(\frac{x-y}{\epsilon}) dy ,if \alpha text{ dispari}):}$

usando che $\phi \in C_0^\infty(\mathbb{R^n})subeC_0^|\alpha|(\mathbb{R^n})$ e che $u$ è $\alpha$-derivabile in senso debole, ottengo:

$D^{\alpha}u_{\epsilon}(x)={(\frac{1}{\epsilon^n} \int_{\mathbb{R^n}} D^{\alpha}u(y)*\phi(\frac{y-x}{\epsilon}) dy ,if \alpha text{ pari}),(\frac{1}{\epsilon^n} \int_{\mathbb{R^n}} D^{\alpha}u(y)*\phi(\frac{x-y}{\epsilon}) dy ,if \alpha text{ dispari}):}$

Infine poichè $\phi$ è pari si ottiene:

$D^{\alpha}u_{\epsilon}(x)=\frac{1}{\epsilon^n} \int_{\mathbb{R^n}} D^{\alpha}u(y)*\phi(\frac{y-x}{\epsilon}) dy=(D^{\alpha}u)_{\epsilon}(x)$

Volevo sapere se fosse tutto giusto o ci fosse qualcosa di sbagliato, grazie.