Limite nel senso delle distribuzioni (tende a delta?)

[peppe_89]

Salve,
dovrei calcolare il limite nel senso delle distribuzioni di
$ e^((t-n)^2) $
Ho svolto diversi limiti nel senso delle distribuzioni ma questo non riesco a portarlo a compimento.
L'intuito mi dice che potrebbe (sottolineo il condizionale) tendere a $ delta/sqrt(pi) $ ma
1 - non so se è vero
2 - non riesco a dimostrarlo
La mia dimostrazione si basava sull'ipotesi che tendesse a quel valore, e quindi dimostrare che la differenza tra le due quantità, per n che tende ad infinito, tendesse a zero.
Avrei sfruttato il teorema di Lebesgue per invertire limite ed integrale, o almeno così ho visto nella maggior parte di quelli affrontati.

Grazie per l'eventuale aiuto

[gugo82]

Mmm... Non direi.

Prova a testare la tua successione contro delle funzioni test scelte bene: ad esempio, prendi un test $phi$ non negativo, con supporto $[-1,1]$ e con massimo $int_(-1)^1 phi(t)"d"t = 1$. Allora:

$<< F_n, phi >> = int_(-oo)^(+oo) f_n(t) phi(t) "d"t = int_(-1)^1 e^((t-n)^2) phi(t) "d"t $;

visto che $n>=1$, $e^((t - n)^2)$ prende il minimo in $t=1$ e tale minimo è $e^((1-n^2)^2)$, hai:

$<<F_n, phi >> >= int_(-1)^1 e^((1-n)^2) phi(t) "d"t ~~ e^(n^2) norm(phi)_1 = e^(n^2)$

e la roba all'ultimo membro diverge positivamente... Quindi mi sa che c'è qualcosa che non va.

Sicuro che l'esponente non sia $-(t-n)^2$?

[peppe_89]

Sì, ho sbagliato a digitare, c'è il meno all'esponente
$ e^(-(t-n)^2) $

[dissonance]

No Peppe, non stai proprio visualizzando la cosa per niente. Devi visualizzare quella successione di grafici nella tua testa, prima di avventurarti in congetture sul loro limite. Leggiti questa vecchia paginetta:

http://www.batmath.it/matematica/a_grafelem/traslaz.htm

(É vecchia di 20 anni, ma non mi risulta che sia cambiata la matematica nel frattempo). Visualizzati quella successione di funzioni come una successione di grafici. Cosa fanno questi grafici? Se ci pensi bene, vedrai che la tua idea di avere come limite una delta non sta né in cielo né in terra.

[gugo82]

No Peppe, non stai proprio visualizzando la cosa per niente. Devi visualizzare quella successione di grafici nella tua testa, prima di avventurarti in congetture sul loro limite. [...] Visualizzati quella successione di funzioni come una successione di grafici. Cosa fanno questi grafici? Se ci pensi bene, vedrai che la tua idea di avere come limite una delta non sta né in cielo né in terra.

Certo.
E per essere più specifici: che fine fa la parte "cicciotta" delle gaussiane $e^(-(t-n)^2)$ quando $n$ cresce indefinitamente?

[peppe_89]

Ok, proviamo ad immaginarle visivamente, sono delle gaussiane il cui centro si sposta verso destra all'aumentare di n. Quindi il limite cos'è? Zero?

[gugo82]

L'idea è quella... Ora prova a dimostrarla.

Suggerimento:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

se $phi$ è un test con supporto $[a,b]$, per $n > b$ hai:

$|\int_(-oo)^(+oo) phi(t) e^(-(t-n)^2) "d" t| <= e^(-(b-n)^2) norm(phi)_1$,

quindi...