Punti di discontinuità di una funzione continua quasi ovunque

[SushoFusho]

Sto svolgendo un esercizio di Analisi II che recita:

Sia $ f: \mathbb{R}\rarr\bar\mathbb{R}$ una funzione continua q.o. (quasi ovunque), allora $f$ è misurabile (secondo la sigma-algebra di Lebesgue ottenuta con la costruzione di Caratheodory a partire dai Boreliani, anche se in realtà per semplificare l'abbiamo costruita usando i pluri-intervalli).

La mia idea era che dato un insieme aperto sul codominio ($\bar\mathbb{R}$) la sua controimmagine è aperta per la continuità di $f$, dunque misurabile in quanto appartenente all'algebra di Borel, che contiene la topologia di $\mathbb{R}$.

Il punto è che non so come trattare i punti di discontinuità. Io ho pensato che un aperto ha delle componenti connesse che sarebbero degli intervalli (aperti) ma non so se il mio aperto contenga l'immagine dei punti di discontinuità, dunque non saprei nemmemo se $f$ sia continua o meno nell'antimmagine e non posso concludere. Suggerimenti?

Ho pensato che l'antimmagine di un aperto rispetto ad una funzione continua q.o. dev'essere un unione di intervalli, poichè anche se tale aperto contiene l'immagine di un punto di discontinuità, la sua antimmagine potrebbe avere delle sconnessioni.

Ora il punto è che vorrei vedere che il "numero" di componenti connesse è al piu' numerabile così da poter fare l'unione senza problemi ed ottenere il mio bel Boreliano.

Dunque riassumendo: come mostro che una funzione continua q.o. ha come antimmagine di un aperto un insieme che ha una quantità al più numerabile di componenti connesse?

Basterebbe vedere che una funzione continua q.o. ha al più un insieme numerabile di punti di discontinuità. Non è però detto che un insieme di misura nulla sia al più numerabile (vedi insieme ternario di Cantor). Spero mi illuminiate, grazie!

[otta96]

Sei sulla strada sbagliata, pensa alla funzione indicatrice dell'insieme di Cantor per convincertene, invece devi considerare la retroimmagine di un aperto come spezzettata in due: la parte dentro e la parte fuori all'insieme dei punti di discontinuità.