Teorema 3.18 del libro di D.S.Jones

[Silent]

Sto leggendo il libro di D.S.Jones, The theory of generalized functions, e nel particolare sto studiando il teorema 3.18 di pagina 84, nella cui dimostrazione non capisco un'affermazione che fa.
Prima di esternare il dubbio puntuale, devo fare un pò di contesto per spiegarmi meglio. Iniziamo da due definizioni.

Una funzione buona $\gamma(x)$ è definita come una funzione definita sui reali, infinitamente differenziabile e tale che lei e tutte le sue derivate siano un $O(|x|^{-N})$, per ogni $N$.

Una funzione generalizzata è per definizione una famiglia di funzioni buone \(\displaystyle \left\{\gamma_n(x)\right\}_{n\in\mathbb{N}} \) tale per cui esista il limite \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \gamma(x) \mathrm{d}x\) per qualsiasi buona $\gamma(x)$.

Riporto inoltre un teorema, senza dimostrarlo (teorema 3.16 del libro).

Qualsiasi sia la funzione generalizzata \(\displaystyle \left\{\gamma_n(x)\right\}_{n\in\mathbb{N}} \), esistono due interi $k$, $r$, e una costante $K$ tali che \(\displaystyle \left| \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \gamma(x) \mathrm{d}x\right| \leq K \max_{x\in\mathbb{R}}(1+x^2)^{k/2}\gamma^{(r)}(x)\).

Detto ciò, veniamo al dubbio.
Nel teorema 3.18 lui definisce un funzionale lineare $F$ "sullo spazio delle funzioni buone della forma \(\displaystyle (1+x^2)^{k/2}\gamma^{(r)}(x) \), dove $k$ e $r$ sono quelli del teorema 3.16" (citazione testuale) nel modo seguente:

$$F\left( (1+x^2)^{k/2}\gamma^{(r)}(x)\right) = \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \gamma_n(x) \gamma(x)\mathrm{d}x$$

e dice che per il teorema 3.16 tale funzionale ha norma $K$.

La cosa che non capisco è: il dominio di $F$ è veramente uno spazio vettoriale? Non la vedo questa cosa, perché se sommo due funzioni buone di quel tipo, ottengo:

$$(1+x^2)^{k_1/2}\gamma_1^{(r_1)}(x) + (1+x^2)^{k_1/2}\gamma_2^{(r_2)}(x) \overset{?}{=}(1+x^2)^{k_3/2}\gamma_3^{(r_3)}(x)$$

e chi sarebbero dunque $k_3$, $r_3$ e $\gamma_3$?
Potrei anche accroccare che $k_3=0$, $r_3=0$ e $\gamma_3 =(1+x^2)^{k_1/2}\gamma_1^{(r_1)}(x) + (1+x^2)^{k_1/2}\gamma_2^{(r_2)}(x) $, ma poi non potrei più sfruttare il teorema 3.16 per poter dire ancora che la norma di $F$ è $K$.

[dissonance]

Certo che tutti tu li trovi i libri piú strampalati!

Mi pare tu abbia ragione, ma probabilmente non è una cosa molto rilevante, solo che adesso vattelapesca tu che cosa voleva fare questo autore. Perché non leggi un libro piú user friendly?

[Silent]

Perché l'approccio di Schwartz non mi entusiasma, che è quello che ho trovato anche nel libro di G. Gilardi (era questo un esempio di libro user-friendly, giusto?).
Mi sono innamorato quando ho letto il libro di Lighthill, Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions, che approccia la cosa in termini di famiglie di funzioni buone. Volevo continuare ad approfondire questo modo di vedere le cose e ho trovato su internet che questo lavoro l'ha fatto D.S.Jones, e ho di conseguenza comprato il suo libro.
Ho cominciato a leggerlo ed eccomi qui

Grazie comunque, se in due pagine ho beccato veramente due errori devo cambiare libro evidentemente.

[dissonance]

Non credo siano esattamente "errori". Sono sottigliezze tecniche. Non significano che il libro non sia buono.

[Silent]

Non ho capito, quindi stiamo dicendo che ha ragione nel dire che quello è uno spazio vettoriale?

Inoltre, non so se ti è capitata un'occhiata anche alla discussione "di là", ma a me quello pure sembra un errore bello e buono. Magari sono io che non capisco, sicuramente, boh.

[gugo82]

@Silent: C'è anche chi fa la carbonara con la pancetta o la panna, e c'è pure chi giura che è buona lo stesso...

[dissonance]

Se leggi la letteratura matematica, specie quella più avanzata, una svista può capitare e capita. Ma non tutte le sviste sono uguali. Ci sono gli errori belli e buoni, quelli che falsificano completamente tutta la discussione seguente, e ci sono le sviste veniali, che richiedono solo un po' di lavoro in più per essere eliminate. Queste ultime purtroppo sono presenti in praticamente tutti i testi matematici avanzati. (Un esempio? Si usa scrivere, in analisi armonica \(2\pi=1\). Questo significa: io, autore, sicuramente sbaglierò i conti con i pi. Ma non sono rilevanti ai fini del risultato finale).

In questo caso, ad esempio, sono sicuro che l'autore non voleva dire che \(f(x)=(1+x^2)P(x)\) o come era. Probabilmente voleva dire che \(|f(x)|\le C (1+x^2)|P(x)|\), ovvero che *il comportamento a infinito* di \(f\) è quello lì.

[Silent]

Ok, grazie, quindi sta a me andare a fare il reverse-engineering del pensiero dell'autore. Non condivido questo modo di fare (perché il libro lo pago con i miei soldi e in cambio vorrei correttezza espositiva) ma ne prendo atto.

@Silent: C'è anche chi fa la carbonara con la pancetta o la panna, e c'è pure chi giura che è buona lo stesso...

Non ho ben capito cosa intendi dire, scusami.

Sinceramente mi sembra un pò assurdo comunque. O una cosa è giusta o è sbagliata, e scritta come l'ha scritta è sbagliata, fine, senza giustificazioni. Inoltre, quello che ho evidenziato nell'altra discussione mi sembra ancor meno giustificabile, mi sembra un errore di quelli invalidanti la dimostrazione a livello concettuale proprio.

La prossima volta propongo alla libreria di acquistarlo alla metà del prezzo, tanto l'autore lo capirà che io intendevo pagare il doppio.


PS: ovviamente niente contro di voi ragazzi, sia chiaro.

[gugo82]

@Silent: C'è anche chi fa la carbonara con la pancetta o la panna, e c'è pure chi giura che è buona lo stesso...

Non ho ben capito cosa intendi dire, scusami.

Intendo che può pure piacerti la carbonara con pancetta o panna (i.e., la costruzione "con le mani" delle distribuzioni temperate), ma se per la maggior parte delle volte la si mangia con guanciale e senza panna (i.e., la costruzione a là Schwartz) forse un motivo c'è...

PS: ovviamente niente contro di voi ragazzi, sia chiaro.

Ovvio, non c'è neanche da dirlo.

Recentemente, una nota scrittrice che ha il dottorato in Matematica diceva che "normalizzare l'errore" è uno dei superpoteri della Matematica.
Prova a rileggere quel pezzo, forse ti può interessare.