Esercizio Antitrasformata Fourier

[davicos]

Ciao a tutti,

chiedo aiuto per un esercizio che non riesco a svolgere.
Si ha un segnale $ x(t) = p_2(t-2) $ . Detta $ X = X(f) $ la sua trasformata di Fourier risulta $ F(X)(t) = p_2(t+2) $ .
Ora il problema per me è come arrivare a tale soluzione.
La mia idea è quella di fare la trasformata di tale segnale e poi antitrasformare, per avere il segnale in t (corretto?). Sperando di aver intuito bene il procedimento, il mio approccio è stato questo:
$ X(f) = sin(2pif)/(pif) e^(-i4pif) $
$ X(X(f))(t) = int_(-oo )^(+oo ) sin(2pif)/(pif) e^(-i4pif) *e^(+i2pift) dt = sin(2pif)/(pif) e^(-i4pif) int_(-oo )^(+oo ) e^(+i2pift) dt = sin(2pif)/(pif) e^(-i4pif) *(1/(i2pif)) * [e^(+i2pift)]{::}_(\ \ -oo )^(+oo ) $

tenendo presente che il risultato dell'integrale essendo che il segnale non è sommabile viene una delta traslata ma comunque da qui non riesco a ricondurmi al risultato finale proposto. Sicuramente sto facendo più calcoli del necessario ma più di così non riesco a fare.
Se mi deste una mano sarebbe meglio. Grazie in anticipo!!

[pilloeffe]

Ciao davicos,

Si ha un segnale $x(t)=p_2(t−2)$ . Detta $X=X(f)$ la sua trasformata di Fourier risulta $F(X)(t)=p_2(t+2)$

Qualche osservazione:
1) Chi è $p_2(t)$? Non è una notazione standard e dovrebbe essere definita da qualche parte;
2) La trasformata è una funzione della frequenza $f$ o della pulsazione $\omega = 2\pi f$, non può essere $F(X)(t)=p_2(t+2)$, casomai $X(f) = p_2(f + 2) $
3) Se invece hai assegnata la trasformata $X(f) $ e devi trovare $x(t) $ allora l'integrazione va fatta in $\text{d}f$, non in $\text{d}t$

[davicos]

Ciao,
scusa pensavo fosse scontato.

1) $ p_2 $ è la funzione porta di periodo $ 2 $;
2) disturba anche a me quella notazione ma ho presunto si trattasse del risultato dell'antitrasformata. L'esercizio è proprio scritto così come anche la soluzione;
3) l'integrazione è fatta in $ dt$ perchè devo trovare l'antitrasformata??

Un esercizio simile il procedimento è stato il medesimo. ovviamente la soluzione risulta diversa.
Non saprei quale altre informazione potrebbe servire..

[pilloeffe]

3) l'integrazione è fatta in $dt$ perchè devo trovare l'antitrasformata??

No, intendiamoci bene: data una funzione $x(t) $ la sua trasformata di Fourier è $X(f) = \mathcal{F}[x(t)]$ in teoria dei segnali di solito definita nel modo seguente:

$X(f) = \mathcal{F}[x(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{- i 2\pi f t} \text{d}t $

Se invece ti è stata assegnata $X(f) = sin(2\pi f)/(\pi f) e^(-i 4\pi f)$ e devi trovare $x(t) $ allora devi antitrasformare $X(f) $ e l'integrale non è in $\text{d}t $, ma in $\text{d}f $ :

$x(t) = \mathcal{F}^-1 [X(f)] = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f) e^{i 2\pi f t} \text{d}f $

Aspetta, forse ho capito cosa dovresti fare; innanzitutto ti calcoli la trasformata di $p_2(t) $ che immagino sia centrata nell'origine e di ampiezza $A = 1 $:

$P_2(f) = \mathcal{F}[p_2(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} p_2(t) e^{- i 2\pi f t} \text{d}t = \int_{-1}^{1} e^{- i 2\pi f t} \text{d}t = sin(2\pi f)/(\pi f) $

A questo punto la domanda diventa: disponendo della trasformata di Fourier di $p_2(t)$, qual è la trasformata di $x(t) = p_2(t - 2) $?
Basta dare un'occhiata alla proprietà 102 (time shifting) qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform
Si deve moltiplicare $P_2(f) $ per $e^{- i 2\pi f a}$ con $a = 2$, ottenendo proprio $X(f) = sin(2\pi f)/(\pi f) e^{- i 4\pi f} $ che si può antitrasformare:

$ x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f) e^{i 2\pi f t} \text{d}f = \int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi f)/(\pi f) e^{- i 4\pi f} e^{i 2\pi f t} \text{d}f = \int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi f)/(\pi f) e^{i 2\pi f (t - 2)} \text{d}f = $

$ = 1/\pi \int_{-\infty}^{+\infty} sin(\omega)/(\omega) e^{i \omega (t - 2)} \text{d}\omega $

avendo posto $\omega := 2\pi f \implies \text{d}\omega = 2 \pi \text{d}f \implies \text{d}f = (\text{d}\omega)/(2\pi) $

[davicos]

Ciao,

diciamo che sono arrivato allo stesso punto (eccetto per aver integrato in $ dt $ anziché in $ df $).
Adesso però come proseguo? Come faccio a ricondurmi alla soluzione $ p_2(t+2) $ ?
Grazie

[pilloeffe]

Ritengo che il tuo professore non voglia che tu risolva l'integrale, ma voglia che tu usi la proprietà di dualità che puoi trovare qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

e qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Fourier
in particolare leggi fra le Note la n. 14

[davicos]

Ciao,

conosco la proprietà perché studiata negli appunti del mio professore. Volevo solo risolvere l'esercizio facendo i vari passaggi così da vedere il tutto in maniera "esplosa".
Se fosse possibile.
Grazie

[pilloeffe]

Volevo solo risolvere l'esercizio facendo i vari passaggi così da vedere il tutto in maniera "esplosa".

Che cosa intendi per in maniera "esplosa"? Vuoi risolvere l'integrale coi residui o con altri metodi? Perché il metodo più comodo è usare proprio la proprietà di dualità che affermi di conoscere.

Si è dimostrato che la trasformata di Fourier di $p_2(t) $ è $sin(2\pi f)/(\pi f) $, cioè

$P_2(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} p_2(t) e^{-i 2\pi f t} \text{d}t = sin(2\pi f)/(\pi f) $

Sostituendo formalmente la variabile $f$ con la variabile $t$ abbiamo che la trasformata di Fourier di $P_2(t) = sin(2\pi t)/(\pi t) $ è uguale a $p_2(- f) $, cioè

$\int_{-\infty}^{+\infty} P_2(t) e^{-i 2\pi f t} \text{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi t)/(\pi t) e^{-i 2\pi f t} \text{d}t = p_2(- f) $

Pertanto la trasformata di una funzione $\text{sinc}(at) := sin(\pi a t)/(\pi t) $ nel tempo, è una funzione porta in frequenza.
Richiamando con $ \tau := - f $ si ha:

$\int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi t)/(\pi t) e^{i 2\pi \tau t} \text{d}t = p_2(\tau) $

Sostituendo $f $ al posto di $t$ e $t$ al posto di $\tau $ si ha:

$\int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi f)/(\pi f) e^{i 2\pi f t} \text{d}f = p_2(t) $

che non è altro che l'integrale che definisce l'antitrasformata di $P_2(f) $
Per $X(f) = sin(2\pi f)/(\pi f) e^(-i 4\pi f)$ si procede in modo analogo: sostituendo formalmente la variabile $f$ con la variabile $t$ abbiamo che la trasformata di Fourier di $X(t) = sin(2\pi t)/(\pi t) e^(-i 4\pi t) $ è uguale a $x(- f) $, cioè

$\int_{-\infty}^{+\infty} X(t) e^{-i 2\pi f t} \text{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi t)/(\pi t) e^{- i 4\pi t} e^{- i 2\pi f t} \text{d}t = x(- f) = p_2(- f - 2) $

Richiamando con $ \tau := - f $ si ha:

$\int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi t)/(\pi t) e^{i 2\pi \tau t} e^{- i 4\pi t}\text{d}t = x(\tau) = p_2(\tau - 2) $

$\int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi t)/(\pi t) e^{i 2\pi (\tau - 2)t} \text{d}t = x(\tau) = p_2(\tau - 2) $

Sostituendo $f $ al posto di $t$ e $t$ al posto di $\tau $ si ha:

$\int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi f)/(\pi f) e^{- i 4\pi f} e^{i 2\pi f t} \text{d}f = x(t) = p_2(t - 2) $

che non è altro che l'integrale che definisce l'antitrasformata di $ X(f) $

[davicos]

Ciao,

per "esplosa" intendevo questo cioè con i vari passaggi.

Grazie ancora.