davicos ha scritto:Volevo solo risolvere l'esercizio facendo i vari passaggi così da vedere il tutto in maniera "esplosa".
Che cosa intendi per in maniera "esplosa"? Vuoi risolvere l'integrale coi residui o con altri metodi? Perché il metodo più comodo è usare proprio la proprietà di dualità che affermi di conoscere.
Si è dimostrato che la trasformata di Fourier di $p_2(t) $ è $sin(2\pi f)/(\pi f) $, cioè
$P_2(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} p_2(t) e^{-i 2\pi f t} \text{d}t = sin(2\pi f)/(\pi f) $
Sostituendo formalmente la variabile $f$ con la variabile $t$ abbiamo che la trasformata di Fourier di $P_2(t) = sin(2\pi t)/(\pi t) $ è uguale a $p_2(- f) $, cioè
$\int_{-\infty}^{+\infty} P_2(t) e^{-i 2\pi f t} \text{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi t)/(\pi t) e^{-i 2\pi f t} \text{d}t = p_2(- f) $
Pertanto la trasformata di una funzione $\text{sinc}(at) := sin(\pi a t)/(\pi t) $ nel tempo, è una funzione porta in frequenza.
Richiamando con $ \tau := - f $ si ha:
$\int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi t)/(\pi t) e^{i 2\pi \tau t} \text{d}t = p_2(\tau) $
Sostituendo $f $ al posto di $t$ e $t$ al posto di $\tau $ si ha:
$\int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi f)/(\pi f) e^{i 2\pi f t} \text{d}f = p_2(t) $
che non è altro che l'integrale che definisce l'antitrasformata di $P_2(f) $
Per $X(f) = sin(2\pi f)/(\pi f) e^(-i 4\pi f)$ si procede in modo analogo: sostituendo formalmente la variabile $f$ con la variabile $t$ abbiamo che la trasformata di Fourier di $X(t) = sin(2\pi t)/(\pi t) e^(-i 4\pi t) $ è uguale a $x(- f) $, cioè
$\int_{-\infty}^{+\infty} X(t) e^{-i 2\pi f t} \text{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi t)/(\pi t) e^{- i 4\pi t} e^{- i 2\pi f t} \text{d}t = x(- f) = p_2(- f - 2) $
Richiamando con $ \tau := - f $ si ha:
$\int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi t)/(\pi t) e^{i 2\pi \tau t} e^{- i 4\pi t}\text{d}t = x(\tau) = p_2(\tau - 2) $
$\int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi t)/(\pi t) e^{i 2\pi (\tau - 2)t} \text{d}t = x(\tau) = p_2(\tau - 2) $
Sostituendo $f $ al posto di $t$ e $t$ al posto di $\tau $ si ha:
$\int_{-\infty}^{+\infty} sin(2\pi f)/(\pi f) e^{- i 4\pi f} e^{i 2\pi f t} \text{d}f = x(t) = p_2(t - 2) $
che non è altro che l'integrale che definisce l'antitrasformata di $ X(f) $