Esercizio Derivata Distribuzionale

[davicos]

Ciao a tutti,

ho un esercizio che non riesco a risolvere:
"Si consideri il segnale $ x(t) = 1_([t, t+1] $ $ (a) + u(t)*e^(-t) $
per quale valore di $ a $ il segnale $ x'(t) $ (nel senso delle distribuzioni) contiene esattamente una Delta di Dirac?"

Ora la soluzione è $ a = 0 $ ma mi blocco quando faccio la derivata. Il mio procedimento è utilizzare la formula generale $ x'(t) = x^d + sum_(k = 1) [[ x]]_(t_k)delta(t-t_k) $ .
Per quanto riguarda la funzione caratteristica non saprei assolutamente come manipolarla, quindi vorrei che me la spiegaste. Capisco come funziona in generale, guardando su Wikipedia ad esempio, ma nel caso specifico non saprei. L'insieme $ t, t+1 $ e il parametro $ a $ non saprei come gestirli.
Per quanto riguarda il secondo addendo:

$ (u(t)*e^(-t))' rarr $ salti: $ { ( t_1=0 ),( [[x]]_0 = 1 ):} $

quindi: $ x'(t) = -u(t)*e^(-t) + 1*delta(t-0) = -u(t)*e^(-t) + delta(t)$

Ad intuito direi che se il parametro $ a=0 $ allora la funzione caratteristica non è presente pertanto rimane solo $ -u(t)*e^(-t) + delta(t) $ che possiede esattamente una Delta di Dirac. Però ripeto che la funzione caratteristica non so proprio come gestirla. Il parametro ad esempio non so che effetti abbia sulla funzione caratteristica in quanto non la capisco.
Grazie in anticipo a chi mi darà una mano!

[pilloeffe]

Ciao davicos,

"Si consideri il segnale \( \displaystyle x(t) = 1_{[t, t+1]} (a) + u(t) \cdot e^{- t} \)
per quale valore di $a$ il segnale $x'(t)$ (nel senso delle distribuzioni) contiene esattamente una Delta di Dirac?"

In effetti quella notazione non l'ho mai vista neanch'io, suppongo che sia \( \displaystyle x(t) = a \cdot 1_{[t,t+1]} + u(t) \cdot e^{-t} \)

Ora la derivata distribuzionale di una funzione, ossia la sua derivata nel senso delle distribuzioni, si effettua addizionando alla derivata ordinaria della funzione gli impulsi concentrati nei punti di discontinuità della funzione, con area pari al salto della funzione nei punti stessi. La funzione $a 1_[t,t+1] $ vale $a$ in $[t, t+1] $ ed è nulla altrove, sicché l'area è $a(t + 1 - t) = a $ e ha due punti di discontinuità in $t$ e in $t + 1$; siccome c'è anche la discontinuità della funzione $u(t) $, se la derivata distribuzionale deve contenere esattamente una delta di Dirac allora deve rimanere solo quella di $u(t) $ e quindi necessariamente deve essere $a = 0 $.

[davicos]

Ciao,

il fatto è che nel testo dell'esercizio il parametro $ a $ è proprio come l'ho scritto io e non come lo hai scritto tu. Sinceramente la cosa mi ha confuso. Per come lo hai scritto tu ha più senso. Vedendo il parametro tra parentesi mi sa tanto di "funzione in $ a $". Comunque come ragionamento mi ci trovo perché è come immaginavo io.
Ti posso solo chiedere di farmi un grafico della funzione caratteristica di questo particolare caso?
Per il resto ho svolto correttamente?
Grazie!

[pilloeffe]

Vedendo il parametro tra parentesi mi sa tanto di "funzione in $a$"

Beh, in effetti è una funzione in $a$, ma molto particolare se è \( \displaystyle a \cdot 1_{[t,t+1]} \) : non lo so, ma con un esercizio scritto così mi sembra più che si vogliano confondere le idee piuttosto che chiarirle, e questa non è una cosa che un professore dovrebbe fare, a maggior ragione se si tratta di un esercizio d'esame e se la notazione non è mai stata introdotta precedentemente... Anche perché sarebbe bastato scriverla prima invece che dopo: \( \displaystyle (a) 1_{[t,t+1]} \)
Questo modo di fare di alcuni professori onestamente non lo capisco: con lo stesso numero di caratteri (qualche volta anche di meno, come in questo caso se si fosse scritto \( \displaystyle a \cdot 1_{[t,t+1]} \) ...) si passa dal rendere un esercizio inutilmente oscuro al renderlo perfettamente chiaro a tutti. Eppure...
Il grafico della funzione è semplice: si tratta di un segmento orizzontale ad altezza $y = a$ nell'intervallo $[t, t+1]$, $y = 0$ al di fuori di tale intervallo.

[dissonance]

A me invece sembra perfettamente chiaro:
\[
1_{[t, t+1]}(a)=\begin{cases} 1, & t\le a\le t+1, \\ 0, & \text{altrimenti.}\end{cases}\]
Per calcolare la derivata, bisogna prima di tutto riscrivere questa funzione in termini di due gradini \(u=u(t)\).

Io farei così:
\[
1_{[t, t+1]}(a) + u(t)e^{-t} = u(a-t)u(t+1-a)+u(t)e^{-t}, \]
quindi la derivata è... e c'è una semplificazione se e solo se \(a=\)...

[davicos]

Ciao,

sì va be ormai ci ho fatto l'abitudine a vedere esercizi "semplici" farli diventare molto più complessi, vuoi per dolo del professore o per metodologia nello spiegare. Tornando al grafico, sarebbe come la funzione porta quindi (con estremi $t$ e $t+1$)?



Vorrei riproporre lo svolgimento dell’esercizio tenendo in considerazione delle nuove informazioni acquisite. Vorrei che mi correggeste se ci fosse qualcosa di errato.

$ x(t) = 1_[t, t+1] (a) + u(t) * e^(-t) $

Ora essendo che manipolare la funzione caratteristica con la variabile $ t $ mi confondo (l’ho notato andando avanti nei conti) la sostituisco con $ tau $.
Quindi avrei

$ x(t) = 1_[tau, tau+1] (a) + u(t) * e^(-t) $

$ x_1(t) = a*1_[tau, tau+1]$
$ x_2(t) = u(t) * e^(-t) $

$ x_1(t) rarr $ salti: $ { ( t_1 = tau ),( [[x]]_tau = a ):}

{ ( t_2 = tau+1 ),( [[x]]_(tau+1) = -a ):} $

$ x_1^d (t) = { ( 0 rarr t<tau ),( 0 rarr tau<t<tau+1 ),( 0 rarr t>tau+1 ):} $

$ ( a*1_[tau, tau+1] )’= 0 + a*delta (t – tau) – a*delta(t- (tau+1)) $
---
$ x_2(t) rarr $ salti: $ { ( t_1=0 ),( [[x]]_0 = 1 ):} $

$ x_2^d (t) = { ( 0 rarr t<0),( -e^(-t)rarr t>0 ):} $

$ ( u(t) * e^(-t) )' = - e^(-t) + 1*delta(t-0) = -u(t)*e^(-t) + delta(t)$

In conclusione:

$ x'(t) = a*delta (t - tau) - a*delta(t - tau+1) - e^(- t) + delta(t) $

Quindi per avere esattamente una delta di Dirac necessariamente $ a=0$ così si avrebbe $ -e^(-t) + delta(t) $
Corretto?

Ho sostituito $t$ con $tau$ altrimenti nella funzione caratteristica avrei avuto
salti: $ { ( t_1 = t),( [[x]]_t= a ):}

{ ( t_2 = t+1 ),( [[x]]_(t+1) = -a ):} $

e

$ x_1^d (t) = { ( 0 rarr t<t ),( 0 rarr t<t<t+1 ),( 0 rarr t>t+1 ):} $

e non ci avrei capito nulla. Tale sostituzione comporta problemi?

Grazie

[dissonance]

sì va be ormai ci ho fatto l'abitudine a vedere esercizi "semplici" farli diventare molto più complessi, vuoi per dolo del professore

Non dare la colpa al professore. La vita è così. Le cose complesse diventano semplici quando uno ha la chiave di lettura giusta.

sarebbe come la funzione porta quindi (con estremi $t$ e $t+1$)?

E' una funzione porta, ma gli estremi non sono quelli. Dove è finita la \(a\)?

Vorrei riproporre lo svolgimento dell’esercizio tenendo in considerazione delle nuove informazioni acquisite. Vorrei che mi correggeste se ci fosse qualcosa di errato.

$ x(t) = 1_[t, t+1] (a) + u(t) * e^(-t) $

Ora essendo che manipolare la funzione caratteristica con la variabile $ t $ mi confondo (l’ho notato andando avanti nei conti) la sostituisco con $ tau $.
Quindi avrei

$ x(t) = 1_[tau, tau+1] (a) + u(t) * e^(-t) $

$ x_1(t) = a*1_[tau, tau+1]$
$ x_2(t) = u(t) * e^(-t) $

$ x_1(t) rarr $ salti: $ { ( t_1 = tau ),( [[x]]_tau = a ):}

{ ( t_2 = tau+1 ),( [[x]]_(tau+1) = -a ):} $

$ x_1^d (t) = { ( 0 rarr t<tau ),( 0 rarr tau<t<tau+1 ),( 0 rarr t>tau+1 ):} $

$ ( a*1_[tau, tau+1] )’= 0 + a*delta (t – tau) – a*delta(t- (tau+1)) $
---
$ x_2(t) rarr $ salti: $ { ( t_1=0 ),( [[x]]_0 = 1 ):} $

$ x_2^d (t) = { ( 0 rarr t<0),( -e^(-t)rarr t>0 ):} $

$ ( u(t) * e^(-t) )' = - e^(-t) + 1*delta(t-0) = -u(t)*e^(-t) + delta(t)$

In conclusione:

$ x'(t) = a*delta (t - tau) - a*delta(t - tau+1) - e^(- t) + delta(t) $

Quindi per avere esattamente una delta di Dirac necessariamente $ a=0$ così si avrebbe $ -u(t)*e^(-t) + delta(t) $
Corretto?

Ho sostituito $t$ con $tau$ altrimenti nella funzione caratteristica avrei avuto
salti: $ { ( t_1 = t),( [[x]]_t= a ):}

{ ( t_2 = t+1 ),( [[x]]_(t+1) = -a ):} $

e

$ x_1^d (t) = { ( 0 rarr t<t ),( 0 rarr t<t<t+1 ),( 0 rarr t>t+1 ):} $

Non ti seguo. Sicuramente ci sono errori; ad esempio, da dove viene fuori quel termine \(e^{-t}\) da solo? Dovrebbe essere \(e^{-t}u(t)\).

Faccio vedere come lo risolvo io. E' molto più semplice. Abbiamo detto che
\[
1_{[t, t+1]}(a)=\begin{cases} 1, & 0\le a-t\, \text{AND}\ 0\le t+1-a, \\ 0, & \text{altrimenti.}\end{cases}\]
La condizione \(0\le a-t\) si rende con un gradino \(u(a-t)\). La condizione \(0\le t+1-a\) si rende con un gradino \(u(t+1-a)\). Siccome c'è un AND, devono valere tutte e due allo stesso tempo, e quindi
\[
1_{[t, t+1]}(a)=u(a-t)u(t+1-a).\]
E adesso calcoliamo la derivata. ADESSO è una cosa meccanica, faccio tutti i passaggi:
\[
\frac{d}{dt}1_{[t, t+1]}(a) = \frac{d}{dt}(u(a-t))u(t+1-a) + u(a-t)\frac{d}{dt}(u(t+1-a))=-\delta(a-t)u(t+1-a) + u(a-t)\delta(t+1-a).\]
Ora applichiamo un'altra regola meccanica: \(f(t)\delta(t-t_0)=f(t_0)\delta(t-t_0)\), quindi
\[
-\delta(a-t)u(t+1-a)=-\delta(a-t)u(1)=-\delta(a-t).\]
E così via. Continua tu, se ne hai voglia.

[davicos]

Ciao,

il termine $-e^(-t)$ "da solo" arriva dalla formula generale che ho applicato alla fine

$ x'(t) = x^d + sum_(k = 1) [[ x]]_(t_k)delta(t-t_k) $.

Quindi alla fine dei conti con $a=0$ si avrebbe $−e^(−t)+delta(t)$.
Non capisco i passaggi della funzione caratteristica. Inoltre alla fine dei conti se $a=0$ la funzione caratteristica non si annulla pertanto avrei una delta in più.
Avrei una $delta$ della funzione caratteristica ed una della funzione $u(t)*e^(-t)$.
Tutto quello che ho svolto è sbagliato? Quali sono gli altri errori?

Grazie.