davicos ha scritto:sì va be ormai ci ho fatto l'abitudine a vedere esercizi "semplici" farli diventare molto più complessi, vuoi per dolo del professore
Non dare la colpa al professore. La vita è così. Le cose complesse diventano semplici quando uno ha la chiave di lettura giusta.
sarebbe come la funzione porta quindi (con estremi $t$ e $t+1$)?
E' una funzione porta, ma gli estremi non sono quelli. Dove è finita la \(a\)?
Vorrei riproporre lo svolgimento dell’esercizio tenendo in considerazione delle nuove informazioni acquisite. Vorrei che mi correggeste se ci fosse qualcosa di errato.
$ x(t) = 1_[t, t+1] (a) + u(t) * e^(-t) $
Ora essendo che manipolare la funzione caratteristica con la variabile $ t $ mi confondo (l’ho notato andando avanti nei conti) la sostituisco con $ tau $.
Quindi avrei
$ x(t) = 1_[tau, tau+1] (a) + u(t) * e^(-t) $
$ x_1(t) = a*1_[tau, tau+1]$
$ x_2(t) = u(t) * e^(-t) $
$ x_1(t) rarr $ salti: $ { ( t_1 = tau ),( [[x]]_tau = a ):}
{ ( t_2 = tau+1 ),( [[x]]_(tau+1) = -a ):} $
$ x_1^d (t) = { ( 0 rarr t<tau ),( 0 rarr tau<t<tau+1 ),( 0 rarr t>tau+1 ):} $
$ ( a*1_[tau, tau+1] )’= 0 + a*delta (t – tau) – a*delta(t- (tau+1)) $
---
$ x_2(t) rarr $ salti: $ { ( t_1=0 ),( [[x]]_0 = 1 ):} $
$ x_2^d (t) = { ( 0 rarr t<0),( -e^(-t)rarr t>0 ):} $
$ ( u(t) * e^(-t) )' = - e^(-t) + 1*delta(t-0) = -u(t)*e^(-t) + delta(t)$
In conclusione:
$ x'(t) = a*delta (t - tau) - a*delta(t - tau+1) - e^(- t) + delta(t) $
Quindi per avere esattamente una delta di Dirac necessariamente $ a=0$ così si avrebbe $ -u(t)*e^(-t) + delta(t) $
Corretto?
Ho sostituito $t$ con $tau$ altrimenti nella funzione caratteristica avrei avuto
salti: $ { ( t_1 = t),( [[x]]_t= a ):}
{ ( t_2 = t+1 ),( [[x]]_(t+1) = -a ):} $
e
$ x_1^d (t) = { ( 0 rarr t<t ),( 0 rarr t<t<t+1 ),( 0 rarr t>t+1 ):} $
Non ti seguo. Sicuramente ci sono errori; ad esempio, da dove viene fuori quel termine \(e^{-t}\) da solo? Dovrebbe essere \(e^{-t}u(t)\).
Faccio vedere come lo risolvo io. E' molto più semplice. Abbiamo detto che
\[
1_{[t, t+1]}(a)=\begin{cases} 1, & 0\le a-t\, \text{AND}\ 0\le t+1-a, \\ 0, & \text{altrimenti.}\end{cases}\]
La condizione \(0\le a-t\) si rende con un gradino \(u(a-t)\). La condizione \(0\le t+1-a\) si rende con un gradino \(u(t+1-a)\). Siccome c'è un AND, devono valere tutte e due allo stesso tempo, e quindi
\[
1_{[t, t+1]}(a)=u(a-t)u(t+1-a).\]
E adesso calcoliamo la derivata. ADESSO è una cosa meccanica, faccio tutti i passaggi:
\[
\frac{d}{dt}1_{[t, t+1]}(a) = \frac{d}{dt}(u(a-t))u(t+1-a) + u(a-t)\frac{d}{dt}(u(t+1-a))=-\delta(a-t)u(t+1-a) + u(a-t)\delta(t+1-a).\]
Ora applichiamo un'altra regola meccanica: \(f(t)\delta(t-t_0)=f(t_0)\delta(t-t_0)\), quindi
\[
-\delta(a-t)u(t+1-a)=-\delta(a-t)u(1)=-\delta(a-t).\]
E così via. Continua tu, se ne hai voglia.