Esercizio Convoluzione di segnali

[davicos]

Ciao a tutti,

propongo un esercizio. Vorrei che mi diceste se i passaggi sono corretti. Grazie.

$ x(t) = p_(2T)(t) $ con $T>0 $ , dove $p_(2T)(t) $ è la funzione porta di periodo $2T$.

Si pone $ y(t) := (x ** x )(t) $ . Allora:

1) $y(t) >= 0$ per ogni $t in mathbb(R) $ ; (VERO)
2) $ y'(t) = sgn(t)*p_(2T)(t) $ nel senso delle distribuzioni; (FALSO)
3) $ int_(-oo )^(+oo ) y(t)dt=2T $ . (FALSO)

Devo rispondere, per ognuna, VERO o FALSO.
La mia risoluzione è la seguente:
----------------
1) $ (x**x)(t) = int_(-oo )^(+oo) x(t-s)x(s)ds= int_(-oo )^(+oo) p_(2T)(t-s)p_(2T)(s)ds = int_(-T)^(T)p_(2T)(t-s)ds$



$ p_(2T)(t-s)= { ( 1 rarr -T<t-s<T),( 0rarr al t rimenti):} = { ( 1 rarr t-T<s<t+T),( 0rarr al trimenti):} $

$ { ( t+T<0rarr t<-T),( -T<t<T ),( t-T>0rarrt>T ):} $

quindi

$ y(t)=int_(-T)^(T) p_(2T)(t-s)ds = { ( 0rarrt<-T ),( int_(t-T)^(t+T)(1)* ds rarr-T<t<T ),( 0rarrt>T ):} = { ( 0rarrt<-T ),( 2T rarr-T<t<T ),( 0rarrt>T ):}$

tenendo presente che il risultato è positivo e che non dipente da $t$ allora $y(t) >= 0 $ per ogni $t in mathbb(R) $.

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2) $ y^d(t)={ ( 0rarrt<-T ),( 0 rarr-T<t<T ),( 0rarrt>T ):} $

salti: $ { ( t_1=-T ),( [[y]]_-T=1 ):} { ( t_2=T ),( [[y]]_T=-1 ):} $

$ p'_(2T)(t)=0+1*delta(t+T)-1*delta(t-T) = delta(t+T)-delta(t-T) !=sgn(t)*p_(2T)(t) $

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3) In realtà $ int_(-T )^(+T) y(t)dt=2T $. Cambiano gli estremi di integrazione.

Corretto?

Grazie.

[Quinzio]

Ci sono degli errori.
La $y(t)$ ha la forma di un triangolo isoscele. Inizia a $t=-2T$, poi sale fino a $t=0$, dove ha valore $2T$, poi scende per arrivare a zero a $2T$.
Devi rivedere le tue risposte alla luce di questo.

[Quinzio]

Vai su questa pagina https://it.wikipedia.org/wiki/Convoluzione e guarda la gif in alto a destra.
Vedi che il triangolo inizia a -1 e finisce a 1, la funzione porta inizia a -0,5 e finisce a 0,5.

[davicos]

Ciao,

scusa ma non ho capito gli errori che ho fatto. Le risposte sono quelle perchè corrette dal professore. Io ho solo cercato di fare i conti per arrivare a quelle risposte. Dove sono gli errori?

Grazie.

[Quinzio]

Si, d'accordo, le risposte VERO/FALSO sono corrette, ma ci arrivi con delle conclusioni sbagliate.
Ad es. la 3) $\int y(t)\ dt = 4T^2$ che e' diverso da $2T$, quindi FALSO. Ma gli estremi di integrazione non c'entrano nulla (e sono anche sbagliati quelli che scrivi tu).

[davicos]

Ciao,

ma la $y(t)$ che ho scritto io è errata? Perché gli estremi di integrazione sono sbagliati?

Grazie.

[Quinzio]

Ciao,

ma la $y(t)$ che ho scritto io è errata?

Si e' sbagliata.

Perché gli estremi di integrazione sono sbagliati?

Perche' la $y(t)$ e' diversa da quello che pensi (che ho copiato qui sotto).

$ y(t)= { ( 0rarrt<-T ),( 2T rarr-T<t<T ),( 0rarrt>T ):} $

[davicos]

Ciao,

va bene grazie, cerco di rifare il tutto.

Grazie ancora!!

[pilloeffe]

Ciao davicos,

Sul forum sono già stati trattati alcuni dei più comuni casi di convoluzione fra segnali: puoi dare un'occhiata ad esempio qui, qui, qui, ed anche qui.

[davicos]

Ciao,

grazie mille me li leggerò!