Applicazione della trasformata inversa di Fourier

[alexegdew]

Ciao Ragazz*, vi chiedo supporto per determinare \( d \) ed \( R \) mediante la seguente procedura:

a) Data la funzione \( X(f) \) riportata in figura allegata sotto, ed essendo \( B \) pari a 17, \( 10 \log_{10}(d) = x(0) \) dove \( x \) è la trasformata inversa di Fourier di \( X(f) \).

b) Essendo \( M \) pari a 9 e considerando la funzione \( C(f) = X(Mf) \), \( \frac{1}{R} \) è l'istante positivo (\( t>0 \)) in cui la funzione \( c(t) \) [trasformata inversa di \( C(f) \)] assume il valore nullo, ovvero \( c\left(\frac{1}{R}\right) = 0 \).

Grazie mille.

[Quinzio]

Vai su questa pagina,
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_t ... transforms
alla riga 202 c'e' la trasf. inversa della funzione rettangolo.
E' gia' tutto fatto, sono solo calcoli banali, riscalamenti, coefficienti vari, ecc.

[alexegdew]

Ecco i passaggi per il punto "A":

Dato che \( X(f) \) è la rappresentazione nel dominio della frequenza di un segnale rettangolare con larghezza \( B \) e ampiezza 1, la sua trasformata inversa di Fourier \( x(t) \) sarà la funzione sinc: \( x(t) = B \text{sinc}(Bt) \).

Per trovare \( x(0) \), sostituisco \( t = 0 \) in \( x(t) \): \( x(0) = B \cdot \text{sinc}(0) = B \cdot 1 = B \).

Siccome ci è stato detto che \( 10 \log_{10}(d) = x(0) \), dobbiamo calcolare \( x(0) \). Per \( t = 0 \), si ha \( \text{sinc}(0) = 1 \), quindi \( x(0) = B \times 1 = B \).

Usando la formula data, \( 10 \log_{10}(d) = B \Rightarrow \log_{10}(d) = \frac{B}{10} \), da cui \( d = 10^{\frac{B}{10}} \).

Ora, con i dati forniti, \( B = 17 \). Quindi:

\[ x(0) = B = 17 \]
\[ 10 \log_{10}(d) = 17 \]
\[ \log_{10}(d) = \frac{17}{10} = 1.7 \]
\[ d = 10^{1.7} = 50.11 \]

Corretto così ?
Sinceramente per il secondo punto "B" non riesco ad impostare una soluzione.

[Quinzio]

b) Essendo \( M \) pari a 9 e considerando la funzione \( C(f) = X(Mf) \), \( \frac{1}{R} \) è l'istante positivo (\( t>0 \)) in cui la funzione \( c(t) \) [trasformata inversa di \( C(f) \)] assume il valore nullo, ovvero \( c\left(\frac{1}{R}\right) = 0 \).

La funzione $c(t)$ sara' $c(t) = 1/M "sinc" (t/M) = 1/M (\sin(\pi t/M))/ (\pi t/M)$.

Adesso devi trovare quando $c(t) = 0$ ovvero quando il seno e' zero.

[alexegdew]

Per determinare quando la funzione \( c(t) \) sarà nulla, quindi devo trovare i valori di \( t \) che rendono l'espressione del seno uguale a zero. Quindi risolviamo l'equazione:

\[ \frac{\sin(\pi \cdot t/M)}{\pi \cdot t/M} = 0 \]

Perché \( \sin(x) = 0 \) quando \( x \) è un multiplo intero di \( \pi \), posso scrivere:

\[ \pi \cdot t/M = n \cdot \pi \]

dove \( n \) è un intero diverso da zero. Risolvendo per \( t \):

\[ t = n \cdot M \]

Quindi, in teoria quando \( t \) è un multiplo intero di \( M \), la funzione \( c(t) \) sarà nulla. Nel nostro caso, con \( M = 9 \), la funzione \( c(t) \) sarà nulla quando \( t \) è un multiplo di \( 9 \). Corretto ? Ma così non posso determinare una valore costante...

[pilloeffe]

Ciao alexegdew,

Ma così non posso determinare una valore costante...

Cosa vuol dire? Perché $n \cdot M $ non è un valore costante una volta scelto $n \in \ZZ^{\star}$ ?
Forse devi scrivere $1/R $ al posto di $t$ ?
Hai presente il grafico della funzione $c(t) = 1/M \text{sinc}(t/M)$ ed in particolare le sue intersezioni con l'asse delle ascisse $t$ ?

[alexegdew]

Quindi, essendo \( t = n \cdot M \),

Ed essendo \( t = 1/R \) l'istante positivo, posso dedurre che

\[ \frac{1}{R} = n \cdot M \]

quindi:

\[ 1 = n \cdot M \cdot R \]

ossia

\[ R = \frac{1}{n \cdot M} \]

Corretto ?

[pilloeffe]

Corretto ?

Dai alexegdew, siamo nella stanza di Analisi superiore: non posso credere che tu abbia bisogno di conferme per questi passaggi elementari...

[alexegdew]

non posso credere che tu abbia bisogno di conferme per questi passaggi elementari.

Perdonami... sono in una fase di studio/lavoro intenso, a volte capita che ci possano essere dei fraintendimenti. Ti ringrazio tantissimo per il supporto