Esercizio Singolarità Funzione Complessa

[davicos]

Ciao a tutti,

propongo un esercizio. Vorrei che mi diceste se il procedimento è corretto.
L'ultimo punto invece non mi torna e vorrei delucidazioni.
Di seguito traccia e procedimento:

Sono assegnati la funzione $ f(z)=(z-i)/(e^(iz))+(3sinh(z-2) )/(z-2)^3+(e^(iz))/(z-i) $

e l'insieme $ Omega ={zin mathbb(C) : abs(Rez)+4abs(Imz)<=3} $

$ square $ $f$ ha infinite singolarità in $mathbb(C)$. FALSO
$ square $ $Res_f $ $ (i) $ $= 1/e $. VERO
$ square $ $ int_(partialOmega) f(z)dz = 0 $ VERO (?)

----------------

$ square $

$ diamond (z-i)/(e^(iz)) ->e^(iz)!=0 AA zin mathbb(C) $

$ diamond (3sinh(z-2))/(z-2)^3=3/(z-2)^2*(sinh(z-2))/(z-2)=3/(z-2)^2*lim_(z -> 2)(sinh(z-2))/(z-2)= 3/(z-2)^2*1 $

$z=2 $ polo doppio

$ diamond (e^(iz))/(z-i)-> $ Taylor $ -> (e^(iz(+i-i)))/(z-i)=(e^(i(z-i))*e^(i^2))/(z-i) = 1/(e(z-i))sum_(n = 0)((z-i)^n)/(n!) =
1/(n!e) sum_(n = 0)1/(z-i)^(1-n) $

sviluppando in serie di Laurent:

$ 1/e*1/(z-i) + 1/e+1/(2e)*(z-i)+... ...+1/(n!e)*(z-i)^(n-1) $

$z=i $ polo semplice

Quindi NON vi sono infinite singolarità in $ mathbb(C) $ .

$ square $

Dalla precedente $ Res_f $ $ (i) $ $ = 1/e $ che è il coefficiente del termine $1/(z-i)$.
Oppure:

$ Res_f $ $ (i) $ $ = lim_(z -> i) [(z-i)*f(z)]=lim_(z -> i)e^(iz)=1/e $

$ square $

Questo è il punto in cui avrei bisogno di maggior chiarezza.

L'insieme $ abs(Rez)+4abs(Imz)<=3 $ è un ellisse o una retta?
Sugli appunti il professore ha scritto che è un ellisse, pertanto l'integrale $ int_(partialOmega) f(z)dz = 0 $ perchè le singolarità trovate prima ($z=2$ e $z=i $) non appartengono all'insieme $Omega$.

Ma $abs(Rez)$ non è uguale a $x$ ?

Se $ abs(z)=sqrt(x^2+y^2) $, il modulo della parte reale non è $x$ ?
Ho provato a fare $ abs(Rez)=abs(Re(x+iy)) = abs(x)=sqrt(x^2) = x $ . Analogamente con la parte immaginaria.

In questo modo l'insieme $ Omega = x+4y<=3 ->y<=3/4 -x/4 $ e i punti di intersezione sono
$ A(0, 3/4) $ e $ B(3, 0) $ . Così facendo la singolarità $ z=2 in Omega $ pertanto l'integrale non è nullo.

Dove sbaglio?
(Scusate la lunghezza del messaggio)
Grazie!

[pilloeffe]

Ciao davicos,

Attenzione che nello sviluppo in serie non puoi portare fuori dalla sommatoria $1/(n!)$ perché $n$ è l'indice della sommatoria: sarebbe un po' come se portassi fuori la $x$ da un integrale in $\text{d}x $...

Sugli appunti il professore ha scritto che è un ellisse

Non mi risulta:
https://www.wolframalpha.com/input?i=%7 ... C+%3C%3D+3

Non è che è stato dimenticato un quadrato dopo i due moduli?

Ma $|Rez|$ non è uguale a $x$ ?

No, $ |\text{Re}(z)| = |x|$ e $|\text{Im}(z)| = |y|$, quindi l'insieme $\Omega $ si può riscrivere nel modo seguente:

$\Omega = {(x, y) : |x| + 4|y| \le 3} $

Si deve considerare cosa accade ai moduli nei quattro quadranti del piano di Gauss:

I : $x > 0 $ e $y > 0$;
II: $x < 0 $ e $y > 0$;
III: $x < 0 $ e $y < 0 $;
IV: $x > 0 $ e $y < 0 $

[davicos]

Ciao,

per quanto riguarda $1/(n!)$ hai ragione, diciamo che è stato un pò un abuso in quanto il valore in sé mi era ininfluente se non per il calcolo del residuo. Terrò a mente la cosa però, grazie.
Per il resto invece vi sono altri errori?

Per il modulo, in effetti dopo aver scritto $|Rez|=|Re(x+iy)|=|x|$ mi sarei dovuto fermare perché il modulo di $x$ è proprio uguale al modulo di $x$. Ero ancora in modalità "numeri complessi".
A questo punto direi che i casi sono due:

$1)$ come dici tu vi è stata una dimenticanza nello scrivere i due quadrati: Allora avrei un'ellisse, quindi l'ultimo punto della traccia è giusto che sia VERO. L'integrale è nullo;

$2)$ l'insieme è proprio quello descritto, pertanto si avrebbe un romboide (come nel link da te riportato). A questo punto però direi che la risposta è FALSO, in quanto la singolarità $z=2 in Omega $ e quindi l'integrale è non nullo.

Va bene comunque in entrambi i casi. L'importante è aver chiarito "il punto".
Se non vi sono altri errori o appunti da fare io vi ringrazio. Proporrò altri esercizi. Mi scuserete se ve ne mando uno dietro l'altro, ma non avendo gli svolgimenti ma solo l'esito VERO/FALSO, non saprei come altro verificare i miei progressi. Spero non ci sia un limite ai messaggi da postare

Grazie!