Ciao a tutti,
propongo un esercizio. Vorrei che mi diceste se il procedimento è corretto.
L'ultimo punto invece non mi torna e vorrei delucidazioni.
Di seguito traccia e procedimento:
Sono assegnati la funzione $ f(z)=(z-i)/(e^(iz))+(3sinh(z-2) )/(z-2)^3+(e^(iz))/(z-i) $
e l'insieme $ Omega ={zin mathbb(C) : abs(Rez)+4abs(Imz)<=3} $
$ square $ $f$ ha infinite singolarità in $mathbb(C)$. FALSO
$ square $ $Res_f $ $ (i) $ $= 1/e $. VERO
$ square $ $ int_(partialOmega) f(z)dz = 0 $ VERO (?)
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$ square $
$ diamond (z-i)/(e^(iz)) ->e^(iz)!=0 AA zin mathbb(C) $
$ diamond (3sinh(z-2))/(z-2)^3=3/(z-2)^2*(sinh(z-2))/(z-2)=3/(z-2)^2*lim_(z -> 2)(sinh(z-2))/(z-2)= 3/(z-2)^2*1 $
$z=2 $ polo doppio
$ diamond (e^(iz))/(z-i)-> $ Taylor $ -> (e^(iz(+i-i)))/(z-i)=(e^(i(z-i))*e^(i^2))/(z-i) = 1/(e(z-i))sum_(n = 0)((z-i)^n)/(n!) =
1/(n!e) sum_(n = 0)1/(z-i)^(1-n) $
sviluppando in serie di Laurent:
$ 1/e*1/(z-i) + 1/e+1/(2e)*(z-i)+... ...+1/(n!e)*(z-i)^(n-1) $
$z=i $ polo semplice
Quindi NON vi sono infinite singolarità in $ mathbb(C) $ .
$ square $
Dalla precedente $ Res_f $ $ (i) $ $ = 1/e $ che è il coefficiente del termine $1/(z-i)$.
Oppure:
$ Res_f $ $ (i) $ $ = lim_(z -> i) [(z-i)*f(z)]=lim_(z -> i)e^(iz)=1/e $
$ square $
Questo è il punto in cui avrei bisogno di maggior chiarezza.
L'insieme $ abs(Rez)+4abs(Imz)<=3 $ è un ellisse o una retta?
Sugli appunti il professore ha scritto che è un ellisse, pertanto l'integrale $ int_(partialOmega) f(z)dz = 0 $ perchè le singolarità trovate prima ($z=2$ e $z=i $) non appartengono all'insieme $Omega$.
Ma $abs(Rez)$ non è uguale a $x$ ?
Se $ abs(z)=sqrt(x^2+y^2) $, il modulo della parte reale non è $x$ ?
Ho provato a fare $ abs(Rez)=abs(Re(x+iy)) = abs(x)=sqrt(x^2) = x $ . Analogamente con la parte immaginaria.
In questo modo l'insieme $ Omega = x+4y<=3 ->y<=3/4 -x/4 $ e i punti di intersezione sono
$ A(0, 3/4) $ e $ B(3, 0) $ . Così facendo la singolarità $ z=2 in Omega $ pertanto l'integrale non è nullo.
Dove sbaglio?
(Scusate la lunghezza del messaggio)
Grazie!