Ciao a tutti,
propongo il seguente esercizio:
"Si consideri il segnale $ x(t)=u(alphat)*sin(alphat) $ con $alpha$ parametro assegnato.
Per quali valori di $alpha$ la derivata distribuzionale $x'(t)$ presenta un salto di ampiezza negativa in $t=0$?"
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Il mio procedimento è il seguente:
La funzione $ x(t)$ non presenta salti, quindi $ x'(t)= x^d(t)={ ( 0->t<0 ),( alphacos(alphat)*u(alphat)+sin(alphat)*alphau'(alphat) ->t>=0):} $
quindi $x'(t)=alphacos(alphat)*u(alphat)+sin(alphat)*alphadelta(alphat)$
tenendo presente che $sin(alpha*0)*alphau'(alphat)=0$ per la proprietà della delta di Dirac "Moltiplicazione per un segnale continuo".
in definitiva $ x'(t)=alphacos(alphat)*u(alphat)$
Adesso però la derivata distribuzionale $ x'(t)$, se $alpha<0$, ha un salto in $t=0$ di ampiezza negativa pari ad $-alpha$. Il coseno risulta specchiato verso le ascisse negative e di conseguenza anche il gradino $u(t)$ specchiato verso destra (nullo).
L'esercizio però rivela come risposta "per nessun $ alpha in mathbb(R) $ . Cioè la derivata distribuzionale $x'(t)$ non presenta salti. Dove sbaglio?
Grazie!